İki cisim problemi

Aynı kütleye sahip iki cismin ortak bir merkez etrafındaki eliptik hareketleri.

Klasik mekanikte iki cisim problemi sadece birbirleriyle etkileşen iki nokta parçacığın hareketini tanımlamak için kullanılır. Bir gezegen ve yörüngesinde dolanan bir uydu, bir yıldız ve yörüngesindeki bir gezegen, birbirlerinin yörüngelerinde dolanan iki yıldız (çift yıldız) ve klasik atom modelinde çekirdeğin etrafında dolanan elektron, yaygın örneklerdir.

İki-cisim problemi, bir dış potansiyelde bulunan tek cismin hareketinin çözümü ile, iki bağımsız bir-cisim problemi olarak yeniden formülize edilebilir. Çoğu bir-cisim problemi kesin olarak çözümlenebildiğinden, iki tane bir-cisim problemi haline indirgenebilen iki-cisim problemi de tam olarak çözümlenebilir. Bunun aksine üç-cisim problemi (ya da daha genel olarak, n>3 için n-cisim problemi) bazı özel durumlar dışında tam olarak çözümlenemez.

Kütleleri biribinden çok az farklı olan iki cismin bir merkez etrafında dönmesi. Şekildeki sistem kütle ve boyut olarak Plüton-Charon sistemine benzerdir.

İki-cisim probleminin iki bağımsız bir-cisim problemine indirgenmesi

x₁, x₂ iki cismin konumları ve m₁, m₂ de kütleleri olsun. Burada amaç tüm t zaman değerleri için cisimlerin konunmlarını veren x₁(t) and x₂(t) fonksiyonlarını başlangıç konumları x₁(t=0) and x₂(t=0) ve başlangıç hızları v₁(t=0) and v₂(t=0) olacak şekilde hesaplamaktır.

Newton'un ikinci yasası bu iki kütleye uygulandığında

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\quad \quad \quad (Denklem\ 1)}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\quad \quad \quad (Denklem\ 2)}$

burada

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$ birinci kütleye ikinci kütle ile etkileşmeden dolayı uygulanan kuvvettir ve

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}}$ ikinci kütleye birinci kütle ile etkileşmeden dolayı uygulanan kuvvettir.

Bu iki denklemi birbirine ekleyip çıkartarak iki tane bağımsız olarak çözümlenebilen diferansiyel denklem elde etmek mümkündür. (1) ve (2) denklemlerini birbirine ekleyerek elde edeceğimiz diferansiyel denklemi çözerek sistemin kütle merkezinin hareketini betimleyen fonksiyonu, (2) denklemini (1) denkleminden çıkararak elde edeceğimiz diferansiyel denklemi çözerek te kütleler arasındaki r = x₁ - x₂ vektörünün zamanla nasıl değiştiğini veren fonksiyonu elde edebiliriz. Bulduğumuz bu iki çözümü kullanarak cisimlerin konumlarının zamanla değişimini ifade eden x₁(t) ve x₂(t) yörünge fonksiyonlarını bulabiliriz.