1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Tüm doğal sayıların toplamını belirten ve

şeklinde de yazılabilen 1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesi bir ıraksak seridir. Serinin ilk n teriminin toplamı

formülüyle hesaplanır.

Serinin bütününün ilk bakışta anlamsız görünmesi yanıltıcıdır. Serinin farklı biçimlerdeki yazımları karmaşık çözümleme, kuantum teorisi ve sicim kuramı alanları için işe yarar sonuçlar üretir.

Kısmi toplam formülünün kanıtı

n'ye değin doğal sayıların toplamının olduğu birkaç farklı yöntemle gösterilebilir. İlk olarak aşağıdaki eşitlik kurulu olsun.

Terimler sondan başa doğru sıralandığında

ifadesi elde edilir. Bu ifade önceki ile toplanırsa

sonucuna ulaşılır.

Zeta fonksiyonunun toplamı ve analitik sürekliliği

1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesinin Ramanujan toplamı −112'dir.[1]

s'nin gerçel kısmı 1'den büyükse s'nin Riemann zeta fonksiyonu toplamına eşit olur. Bu toplam, s'nin 1'e eşit ya da 1'den küçük olması durumunda ıraksar ancak s = −1 ise ζ(s)'nin analitik sürekliliği −112'ye eşit olur.

Fizikteki kullanımı

Bozonik sicim kuramında ana amaç bir sicimin sahip olduğu erke düzeylerinin hesaplanmasıdır. Sicimin her armonisi bağımsız kuantum harmonik titreşiminden oluşan bir çokluk olarak görülebilir. Burada , uzayzaman boyutunu belirtir. Temel titreşim sıklığı ise . armoniye karşılık gelen erke miktarı 'dir. Iraksak seri kullanıldığında tüm armonilerin toplamının olduğu görülür. Böylece, biyonik sicim kuramının 26 dışındaki boyutlarda tutarlı olmadığı kanıtlanmış olur.

Casimir kuvvetinin belirmesinde de benzer bir hesaba gereksinim duyulur.

Tarihi

Srinivasa Ramanujan'ın G. H. Hardy'ye yazdığı 27 Şubat 1913 tarihli ikinci mektupta şöyle denilmektedir:

"Bayım, 8 Şubat 1913 tarihli mektubunuzu okumuş olmaktan ötürü çok hoşnutum. Sizden daha önce Londralı bir matematik profesöründen almış olduğum ve bana Bromwich'in Sonsuz Serileri'ne çalışmamı salık veren yanıta benzer bir karşılık bekliyordum. … Ona kuramımın 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −112 eşitliğini sağladığını söyledim. Bunu delice bir girişim olarak görebilirsiniz ancak size yazmaktaki tek amacım kuramımı kanıtlamaya yarayan yöntemleri yalnızca bir mektupta anlatmam durumunda kuramın size yeterince açıklayıcı olmayacağı konusunda sizi ikna etmekti. …"[2]

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. Hardy s.333
  2. Berndt et al s.53.

Kaynakça

Bibliyografya

Dış bağlantılar

This article is issued from Vikipedi - version of the 11/16/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.