Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir).

Açık gönderim teoremi, holomorfi ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar. Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x² türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) açık aralığının görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır.

Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir.

Kanıt

f:U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve ${\displaystyle U}$ karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun. ${\displaystyle f(U)}$'daki her noktanın ${\displaystyle f(U)}$'nun bir iç noktası olduğunu göstermeliyiz; yani ${\displaystyle f(U)}$ içindeki her noktanın ${\displaystyle f(U)}$ içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz.

${\displaystyle U}$ içinde rastgele bir ${\displaystyle z_{0}}$ noktasını alalım. U açık olduğu için, bir ${\displaystyle d>0}$ bulabiliriz öyle ki z₀ etrafında, d yarıçaplı ${\displaystyle B}$ kapalı diski tamamen U içinde yer alır. U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz. Görüntü noktası ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ 'ı ele alalım. ${\displaystyle f(z_{0})-w_{0}=0}$ olur ve ${\displaystyle z_{0}}$, ${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$ fonksiyonunun kökü olur.

g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz. (Sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir.) e, B 'nin sınırındaki z değerleri için |g(z)| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı). (B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden tıkız kümedir. |(g(z)| sürekli fonksiyondur. Böylece, ekstremum değer teoremi bu minimumun varlığını kanıtlar.) ${\displaystyle w_{0}}$ etrafındaki ${\displaystyle e}$ yarıçaplı diski ${\displaystyle D}$ ile gösterelim. Rouché teoremi, ${\displaystyle w_{0}}$ 'a uzaklığı ${\displaystyle e}$ 'den az olan her ${\displaystyle w}$ için ${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$ ve ${\displaystyle f(z)-w}$ 'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder. Bu yüzden, ${\displaystyle D}$ içindeki her ${\displaystyle w}$ için, ${\displaystyle B}$ 'de ${\displaystyle f(z_{1})=w}$ olacak şekilde sadece bir tane ${\displaystyle z_{1}}$ vardır. Bu da, D diskinin ${\displaystyle f(U)}$ 'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir.

Kaynakça

• Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1