Abel teoremi

Gerçel analizde, Abel teoremi kuvvet serileri için tanımlanmıştır. Bir kuvvet serisinin limitini, katsayılarının toplamıyla ilişkilendirir. Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel'in adını almıştır.

Teorem

a = {a_i: i ≥ 0} herhangi bir reel veya kompleks sayı dizisi olsun ve

${\displaystyle G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\,}$ ifadesi de katsayısı a olan kuvvet serisi olsun

a. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ serisinin yakınsadığını varsayalım Öyleyse,

${\displaystyle \lim _{z\uparrow 1}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}.\,\ \ (*)}$

olur

Bütün a_i katsayılarının gerçel olduğu ve bütün i'ler için a_i ≥ 0 ifadesi geçerli olduğunda yukardaki ${\displaystyle (*)}$ formülü geçerlidir. Aynı zamanda ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ifadesinin yakısamadığı durumda formülün iki tarafı da $+\infty$ olacaktır .