Breit denklemi

Breit denklemi, Gregory Breit tarafından 1929'da Dirac denklemine dayalı olarak türetilmiş kökler kuralının ilk kuralına göre iki ya da daha fazla kütleli spini -1/2 olan parçacıkların elektromanyetizma açısından etkileşimini tanımlayan (örneğin elektron) rölativistik dalga denklemidir. Manyetik etkileşimlerin ve ${\displaystyle 1/c^{2}}$ kuralına göre gecikme etkisinin nedeni açıklar.  Diğer kuantum elektrodinamik etkileri ihmal edildiğinde, bu denklemin deney ile iyi bir uyum içinde olduğu görülmüştür. Bu denklem başlangıçta Darwin Lagrangian tarafından türetildi ancak daha sonra Wheeler-Feynman emme teorisi ve en sonunda Kuantum elektrodinamiği tarafından doğrulandı.

Giriş

Breit denklemi sadece Kuantum Mekaniği açısından bir yaklaşım değildir. Aynı zamanda izafiyet teorisi açısından da bir yaklaşımdır çünkü Lorentz dönüşümüne göre tamamen değişmez değildir. Dirac denkleminde olduğu gibi, çekirdekleri, tranımlanan parçacıkları dış alanın nokta kaynakları gibi değerlendirir. N parçacıkları için, Breit denkleminin yapısı, (r_ıj parçacık ile arasındaki mesafe r iken i ve j):

${\displaystyle {\hat {H}}_{D}(i)=\left[q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})+c\sum _{s=x,y,z}\alpha _{s}(i)\pi _{s}(I)+\alpha _{0}(I)m_{0}c^{2}\right]}$

burada Hamilton Dirac ( bkz. Dirac denklemi) i parçacığı için pozisyon r_ı dir ve f(r_i) bu pozisyondaki skaler potansiyeldir ; qi ise parçacığın yüküdür, böylece elektron için q_ı = −e. Parçacıkların tek elektronu Dirac Hamilton ile birlikte anlık Coulomb etkileşimleri 1/r_ıj, Dirac-Coulomb operatörünü oluşturur. Breit ise buna operatörü ekledi (şimdi (bağımsız frekans) Breit operatör olarak bilinen):

${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}=-{\frac {1}{2r_{ij}}}\left[\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {a} (j)+{\frac {\left(\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)\left(\mathbf {a} (j)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)}{r_{ij}^{2}}}\right]}$,

burada i elektronu için Dirac matrisleri : a(i) = [a_x(ı),A_y(i),A_z(ı)]. Breit operatöründe bu iki terim birinci dereceden gecikme etkilerini açıklar. Breit Denkleminde dalga fonksiyonu Ψ  4^N  element ile bir spinördür, bu yüzden Dirac denkleminde her bir element bir Dirac bispinor ile 4 element olarak tanımlamıştır ve toplam dalga fonksiyonu bunların toplamı olan bir tensördür.

Breit Hamiltonları

Breit denkleminin toplam Hamiltonları, bazen Dirac-Coulomb-Breit Hamilton (H_DCB) denilen, elektrik ve manyetik alan için aşağıdaki pratik enerji operatörlerine ayrılabilir (ayrıca Breit-Pauli Hamilton olarak adlandırılan), ayrıca manyetik alanlarla moleküllerin etkileşimini anlamada iyi bir tanımdır. (örneğin nükleer manyetik rezonans):

${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}+...+{\hat {H}}_{6}}$,

burada ardışık kısmi operatörler şunlardır:

• ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+V}$ bu relativistik olmayan Hamilton (${\displaystyle m_{i}}$parçacık i nin sabit kütlesi).
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{1}=-{\frac {1}{8c^{2}}}\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{4}}{m_{i}^{3}}}}$ kütlenin hız üzerideki ilişkisi ile bağlantılıdır : ${\displaystyle E_{kin}^{2}-\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}=m^{2}v^{2}c^{2}}$.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{2}=-\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{2r_{ij}m_{i}m_{j}c^{2}}}\left[\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{j}+{\frac {(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{i})(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{j})}{r_{ij}^{2}}}\right]}$bu Yüklerin yörünge hareketinden ( ayrıca yörünge-yörünge etkileşimi denilen) kaynaklanan bu düzeltme kısmen gecikmenin nedenini açıklar ve parçacıkların manyetik dipol moment etkileşimleri olarak tanımlanabilir..
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{3}={\frac {\mu _{B}}{c}}\sum _{i}{\frac {1}{m_{i}}}\mathbf {s} _{i}\cdot \left[\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\times \mathbf {\hat {p}} _{i}+\sum _{j>i}{\frac {2q_{i}}{r_{ij}^{3}}}\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {\hat {p}} _{j}\right]}$ bu yörüngesel manyetik moment ile (yörünge hareketinden sorumlu) ve spin manyetik momentler ( spin-yörünge etkileşimi) arasındaki klasik etkileşimdir.  İlk terim parçacığın spini ile kendi yörünge momenti arasındaki etkileşimi açıklar. (F(r_ı) ise parçacığın pozisyondaki elektrik alanıdır) ve ikinci terim iki farklı parçacık arasındaki etkileşimdir.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{4}={\frac {ih}{8\pi c^{2}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{m_{i}^{2}}}\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})}$ Dirac teorisi için karakteristik ve klasik olmayan bir terimdir, bazen Darwin terimi olarak adlandırılır.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{5}=4\mu _{B}^{2}\sum _{i>j}\left\lbrace -{\frac {8\pi }{3}}(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j})\delta (\mathbf {r} _{ij})+{\frac {1}{r_{ij}^{3}}}\left[\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-{\frac {3(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {r} _{ij})(\mathbf {s} _{j}\cdot \mathbf {r} _{ij})}{r_{ij}^{2}}}\right]\right\rbrace }$ bu manyetik moment spin-spin etkileşimidir. İlk terim temas etkileşimi olarak adlandırılır, çünkü sadece parçacıklar aynı yerde olduğunda sıfırdan farklıdır. İkinci terim ise klasik dipol-dipol tipi etkileşimdir.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{6}=2\mu _{B}\sum _{i}\left[\mathbf {H} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {s} _{i}+{\frac {q_{i}}{m_{i}c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {\hat {p}} _{i}\right]}$ bu etkileşim spin ve orbital manyetik momentleri ile bir dış manyetik alan H arasındadır.

burada:         ${\displaystyle V=\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}$ ve ${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2mc}}}$

Ayrıca Bkz.

• Bethe-Salpeter denklemi
• Darwin Lagrangian
• Two-body Dirac denklemleri
• Positronyum
• Wheeler–Feynman emme teorisi

Referans

• ↑  H.A. Bethe, E.E. Salpeter (1977). Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms. New York: Plenum Press. s. 181. 
• G. Breit (1932). "Dirac's Equation and the Spin-Spin Interactions of Two Electrons". Phys. Rev. (New York, USA) 39. Bibcode 1932PhRv...39..616B. DOI:10.1103/PhysRev.39.616. http://prola.aps.org/abstract/PR/v39/i4/p616_1. 
• J.L. Friar, J.W. Negele (1973). "Breit equation analysis of recoil corrections to muonic atom energy levels". Physics Letters B 46. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370269373904590. 
• J. Mourad, H. Sazdjian (1995). "How to obtain a covariant Breit type equation from relativistic constraint theory". Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics (IoP) 46. arXiv:hep-ph/9412261. Bibcode 1995JPhG...21..267M. DOI:10.1088/0954-3899/21/3/004. http://iopscience.iop.org/0954-3899/21/3/004. 

Dış bağlantılar

• Breit denkleminin Tensör Yapısı, Teorik Fizik Enstitüsü, Varşova Üniversitesi -
• - Breit denklemini çözmek, Teorik Fizik Enstitüsü, Varşova Üniversitesi