D'Agostino'nun K-kare sınaması

İstatistik bilim dalında D'Agostino'nun K² sınaması normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K² istatistiği şöyle elde edilir:

n değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, $\sqrt{b_1}$, şöyle tanımlanır:

$\sqrt{ b_1 } = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}}$

Örneklem basıklık ölçüsü, $\sqrt{b_2}$ ise şöyle tanimlanır:

$b_2 = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^2}$

Burada $\bar{x}$ örneklem ortalaması, σ² ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ₃ ve μ₄ üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.

Dönüştürülmüş çarpıklık

Önce, çarpıklık ölçüsü $\sqrt{b_1}$ 'nin bir dönüşümü olan

$Z\left(\sqrt{b_1}\right)$

hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

$Y = \sqrt{b_1} \cdot \sqrt{\frac{(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}$

$\beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) = \frac{3(n^2+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}$

$W^2 = -1 + \sqrt{2 (\beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) - 1)}$

$\delta = 1/\sqrt{ln(W)}$

$\alpha = \sqrt{\frac{2}{W^2-1}}$

$Z\left(\sqrt{b_1}\right) = \delta ln\left(Y/\alpha + \sqrt{(Y/\alpha)^2 + 1}\right)$

Dönüştürülmüş Basıklık

Sonra, basıklık ölçüsü olan $b_2$ 'in bir dönüşümü olan $Z\left(b_2\right)$ hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

$E\left(b_2\right) = \frac{3(n-1)}{n+1}$

$\sigma^2_{b_2} = \frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

$x = \frac{b_2 - E\left(b_2\right)}{\sigma_{b_2}}$

Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

$\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)} = \frac{6(n^2-5n+2)}{(n+7)(n+9)} \sqrt{\frac{6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}$

$A = 6 + \frac{8}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} \left[ \frac{2}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} + \sqrt{1+\frac{4}{\beta_1\left(b_2\right)}}\right]$

$Z\left(b_2\right) = \left(\left(1 - \frac{2}{9A}\right) - \sqrt[3]{\frac{1-2/A}{1+x\sqrt{2/(A-4)}}}\right)\sqrt{\frac{9A}{2}}$

İçerikli K² istatistiği

Şimdi, bu $Z\left(\sqrt{b_1}\right)$ ile $Z\left(b_2\right)$ ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sinama istatistigi şöyle tanımlanır:

$K^2 = \left(Z\left(\sqrt{b_1}\right)\right)^2 + \left(Z\left(b_2\right)\right)^2$

$K^2$ istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir $\chi^2$ ile dağılım gösterir.

İçsel kaynaklar

• Normallik sınamaları
• Kolmogorov-Smirnov sınaması
• Shapiro-Wilk sınaması
• Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması
• Jarque-Bera sınaması

Kaynak

Referanslar

• D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", The American Statistician, Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321.