Dairesel hareket

Fizikte, dairesel hareket bir nesnenin dairesel bir yörünge boyunca bir rotasyon ya da çemberin çevresinde yaptığı harekettir. Rotasyonun (ve sürekli hızın) sürekli açısal değeriyle birlikte düzgün ya da değişen rotasyon değeriyle düzensiz olabilir. 3 boyutlu bir cismin sabit ekseni etrafındaki rotasyon parçalarının dairesel hareketini içerir. Hareketin denkliği bir cisim kütlesinin merkezini tanımlar.

Dairesel hareketin örnekleri şunları içerir: sabit ağırlıkta Dünya yörüngesinde dönen yapay bir uydu, bir ipe bağlanmış ve daireler şeklinde sallanan bir taş, parkurda viraj boyunca dönen bir araba, düzgün bir manyetik alana dikey olarak hareket eden bir elektron ve bir mekanizmanın içerisinde dönen bir dişli. Nesnenin sürat vektörü sürekli yön değiştirdiği için, hareket eden nesne rotasyon merkezinin yöndeki merkezcil bir kuvvet tarafından ivme kazandırılıyor. Newton’un hareket yasalarına göre bu ivme olmadan nesne düz bir çizgide hareket eder.

Üniform

Figure 1: Velocity v and acceleration a in uniform circular motion at angular rate ω; the speed is constant, but the velocity is always tangent to the orbit; the acceleration has constant magnitude, but always points toward the center of rotation

Figure 2: The velocity vectors at time t and time t + dt are moved from the orbit on the left to new positions where their tails coincide, on the right. Because the velocity is fixed in magnitude at v = r ω, the velocity vectors also sweep out a circular path at angular rate ω. As dt → 0, the acceleration vector a becomes perpendicular to v, which means it points toward the center of the orbit in the circle on the left. Angle ω dt is the very small angle between the two velocities and tends to zero as dt→ 0

Figure 3: (Left) Ball in circular motion – rope provides centripetal force to keep ball in circle (Right) Rope is cut and ball continues in straight line with velocity at the time of cutting the rope, in accord with Newton's law of inertia, because centripetal force is no longer there

Fizikte, düzgün dairesel hareket dairesel bir yörüngeyi sabit hızla geçen bir cismin hareketini tanımlar. Cisminin rotasyon ekseninden uzaklığı her zaman sabit kalır. Cismin hızının sabit olmasına rağmen, sürati sabit değildir: sürat, vektörel bir büyüklük, hem cismin hızına hem gidiş yönüne bağlıdır. Bu değişken sürat bir ivmenin varlığını gösterir; bu merkezcil ivme düzgün genlikten kaynaklanır ve her zaman rotasyon eksenine doğru yönlendirilir. Bu ivme dolayısıyla aynı şekilde genlikte düzgün ve rotasyon eksenine doğru yönlendirilmiş merkezcil bir güç tarafından üretilir.

Yörüngenin yarıçapına oranla göz ardı edilebilecek küçüklükte olmayan sert bir cismin sabit ekseni etrafındaki rotasyon durumunda, cismin her bir parçacığı aynı açısal sürat fakat konum ve yörüngeye bağlı olarak değişen sürat ve ivmeli bir düzgün dairesel hareket tanımlar.

Formüller

Figure 1: Vector relationships for uniform circular motion; vector Ω representing the rotation is normal to the plane of the orbit.

r yarıçaplı bir dairede hareket için, dairenin çevresi C = 2π r’dir. Bir rotasyon için dönem T, aynı zamanda açısal sürat olarak bilinen rotasyonun açısal değeri, ise ω :

$\omega = \frac {2 \pi}{T} \$

Ve birimler radyan/saniye’dir.

Daireyi dolaşan nesnenin hızı:

$v\, = \frac {2 \pi r } {T} = \omega r$

T sürede süpürülen θ açısı:

$\theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t\,$

Yöndeki değişiklikten kaynaklanan ivme:

$a\, = \frac {v^2} {r} \, = {\omega^2} {r}$

Vektörel ilişkiler Şekil 1’de gösteriliyor. Rotasyon ekseni ω = dθ / dt genliğiyle ve yörünge düzlemine dik Ω vektörü olarak gösterilmiştir. Ω vektörünün yönü sağ el kuralı kullanılarak seçilmiştir. Rotasyon belirlemek için olan bu kuralla, sürat vektör çarpı ürün olarak verilir; F burda vektör hem Ω hem de r ( t )’ye dikey, yörüngeye teğet ve ω r genliğindedir.

Aynı şekilde, ivme :$\mathbf{a} = \boldsymbol \Omega \times \mathbf v = \boldsymbol \Omega \times \left( \boldsymbol \Omega \times \mathbf r \right) \ ,$ olarak verilir, burda vektör ω |v| = ω² r genliğinde hem Ω hem de v ( t )’ye dikeydir ve r ( t )’nin tam zıddı yöne doğrultulmuştur.

En basit olarak hız, kütle ve yarıçap sabittir.

Bir kilogramlık bir cismin saniyede bir radyanın açısal süratiyle bir metre yarıçap etrafında dairesel olarak hareket ettiğini varsayalım.

• Hız saniyede 1 metredir. • İçeriye doğru ivme 1 m / s2’dir. • 1 m / s2’de 1 kilogram merkezcil güce bağlıdır ve bu bir newton eder. • Cismin momentumu 1 kg•m•s−1’dir. • Eylemsizlik momentumu 1 kg•m2’dir. • Açısal momentumu 1 kg•m2•s−1’dir. • Kinetik enerji ½ jouledür. • Yörüngenin çevresi 2π (~ 6.283) metredir. • Hareketin devri dönüş başında 2π saniyedir. • Frekans (2π)−1 hertz’dir.

Kutupsal Koordinatlar

Figure 2: Polar coordinates for circular trajectory. On the left is a unit circle showing the changes $\mathbf{d\hat u_R}$ and $\mathbf{d\hat u_\theta}$ in the unit vectors $\mathbf{\hat u_R}$ and $\mathbf{\hat u_\theta}$ for a small increment $\mathrm{d \theta}$ in angle $\mathrm{\theta}$.

Dairesel hareket boyunca cisim herhangi bir referans yönden konumlandırılmış θ (t) açısında orijin olarak alınan yörüngenin merkezinden R sabit uzaklığı olan kutupsal koordinat sistemi olarak tanımlanabilecek bir eğride hareket eder.

Bakınız Şekil 2. $\stackrel{\vec r}{}$ vektörünün yer değişimi orijinden parçacık konumuna olan radyal vektördür:

$\vec r=R \hat u_R (t)\ ,$

$\hat u_R (t)$ t süresinde orijinden uzaklaşan radyal vektöre paralel birim vektörün olduğu yerdir. Ortogonal birim vektörü $\hat u_R$ olarak da adlandırılan $\hat u_\theta$’ye göstermek için uygun bir noktadır. $\hat u_\theta$’yi yörünge boyu dolaşım yönüne doğrultmak için müsaittir.

Hız yerdeğişimin zamana göre türevidir:

$\vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = \frac {d R}{dt} \hat u_R + R\frac {d \hat u_R } {dt} \ .$

Dairenin yarıçapı sabit olduğundan, hızın radyal bileşeni sıfırdır. $\hat u_R$ birim vektörü değişmez zamanlı birleşme genliğine sahiptir, böylece süre değiştikçe ucu daima $\vec r (t)$ ile aynı açıda olan θ açısıyla birim yarıçapın dairesinde uzanır. Eğer parçacık yerdeğişimi dt sürede dθ açısıyla dönerse dθ genliğindeki birim daire üzerinde bir yay tanımlayan $\hat u_R$de döner.

Bakınız Şekil 2’deki solda birim daire. Bu yüzden,

$\frac {d \hat u_R } {dt} = \frac {d \theta } {dt} \hat u_\theta \ ,$

Değişimin yönü $\hat u_R$’ye dikey (diğer bir değişle $\hat u_\theta$) boyunca) olmalıdır çünkü $\hat u_R$ yönünde d$\hat u_R$ ’deki herhangi bir değişim $\hat u_R$’nin büyüklüğünü değiştirecektir.

İşaret pozitif çünkü dθ’daki artış nesne ve $\hat u_R$’nin $\hat u_\theta$ yönünde hareket ettiklerini gösteriyor.

Bu yüzden hız,

$\vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = R\frac {d \hat u_R } {dt} = R \frac {d \theta } {dt} \hat u_\theta \ = R \omega \hat u_\theta \ .$ haline geliyor.

Cismin ivmesi de radyal ve teğet bileşenlere ayrılabilir. İvme, hızın zamana göre türevidir:

$\vec a = \frac {d}{dt} \vec v = \frac {d}{dt} \left(R\ \omega \ \hat u_\theta \ \right) \ .$

$=R \left( \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta + \omega \ \frac {d \hat u_\theta}{dt} \right) \ .$

$\hat u_\theta$’nin zamana göre türevi $\hat u_R$için olan aynı yöntemle bulunur. Yine, $\hat u_\theta$ bir birim vektördür ve ucu π/2 + θ açılı bir birim daireyi takip eder. Dolayısıyla, $\vec r (t)$ ile dθ açısındaki bir artış $\hat u_\theta$’nin dθ genliğinde bir yayı izlediğini gösterir ve $\hat u_\theta$ $\hat u_R$’ye ortogontal olduğu için:

$\frac {d \hat u_\theta } {dt} = -\frac {d \theta } {dt} \hat u_R = -\omega \hat u_R\ ,$

Negatif işaret $\hat u_\theta$’yi $\hat u_R$’ye otogonal tutmak için zorunlu. (Aksi takdirde $\hat u_\theta$ ve $\hat u_R$ arasındaki açı dθ’daki artışla birlikte azalacaktı.) Bakınız Şekil 2 solda birim daire. Sonuç olarak ivme:

$\vec a = R \left( \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta + \omega \ \frac {d \hat u_\theta}{dt} \right)$

$=R \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta - \omega^2 R \ \hat u_R \ .$

Merkezcil hızlanma yarıçap içine doğru yönlendirilen radyal bileşendir.

$\vec a_R= -\omega ^2R \hat u_R \ ,$

Teğet bileşen süratın genliğini değiştirirken:

$\vec a_{\theta}= R \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta = \frac {d R \omega}{dt}\ \hat u_\theta =\frac {d |\vec v|}{dt}\ \hat u_\theta \ .$

Karmaşık sayıları kullanma

Dairesel hareket karmaşık sayılar kullanılarak tanımlanabilir. $x$ ekseni reel eksen ve $y$ ekseni sanal eksen olsun. Cismin konumu bu durumda $z$, karmaşık “vektör”, olarak verilebilir.

$z=x+iy=R(\cos \theta +i \sin \theta)=Re^{i\theta}\ ,$

$i$ sanal birim ve

$\theta =\theta (t)\ ,$

reel eksen ile karmaşık vektörün açısıdır ve t süresinin bir fonksiyonudur. Yarıçap sabit olduğundan:

$\dot R =\ddot R =0 \ ,$

Her bir nokta zaman farklılığını temsil eder. Bu formül ile sürat:

$v=\dot z = \frac {d (R e^{i \theta})}{d t} = R \frac {d \theta}{d t} \frac {d (e^{i \theta})}{d \theta} = iR\dot \theta e^{i\theta} = i\omega \cdot Re^{i\theta}= i\omega z$ haline gelir.

Ve ivme:

$a=\dot v =i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\dot \omega -\omega^2)z$

$= \left(i\dot \omega-\omega^2 \right) R e^{i\theta}$

$=-\omega^2 R e^{i\theta} + \dot \omega e^{i\frac{\pi}{2}}R e^{i\theta} \ .$

İlk terim yerdeğiştirme vektörüne ters yönde ve ikinci terim daha önceki sonuçlarda gösterildiği gibi dikeydir.

Sürat (.)(.)

Şekil 1 sürat ve ivme vektörlerinin yörüngede dört farklı noktadaki değişmeyen hareketlerini gösteriyor. v vektörü dairesel yola teğet olduğu için, iki vektör hiçbir zaman aynı yöne doğrulmaz. Nesne sabit bir hıza sahip olmasına rağmen, yönü sürekli değişir. Sürattaki bu değişim genliği sabit tutulan (süratin olduğu gibi) fakat yönü sürekli değişen a ivmesinden kaynaklanır. İvme yarıçapın içine doğru (merkezcil olarak) yönelir ve sürate diktir. Bu ivme merkezcil ivme olarak bilinir

Bir r yarıçaplı yol için, bir θ açısı süpürüldüğünde yörünge çevresinde gidilen mesafe s = rθ’dır. Bu yüzden, yörünge etrafında dönüşün hızı:

$v = r \frac{d\theta}{dt} = r\omega$

Rotasyonun açısal değeri ω’dir. (Yeniden düzenleme ile, ω = v/r.) Yani, vdeğişmez ve sürat vektörü v de sabit genlik v ile aynı ω açısal değerinde döner.

Bağıl Dairesel Hareket

Bu durumda üç ivme vektörü üç sürat vektörüne diktir,

$\vec{u}\cdot \vec{a} = 0.$

Ve bütün referans çerçevelerinde aynı skaler sabit olarak ifade edilen düzgün ivmenin karesine dik,

$\alpha^2 = \gamma^4 a^2 + \gamma^6(\vec{u}\cdot \vec{a})^2,$

Dairesel hareketin ifadesi haline gelir.

$\alpha^2 = \gamma^4 a^2.$

Ya da pozitif karekökünü alarak ve üç ivmeyi kullanarak, dairesel hareket için uygun ivmeye ulaşırız:

$\alpha = \gamma^2 \frac{v^2}{r}.$

İvme

Şekil 2’deki sol daire iki komşu zamanda sürat vektörlerini gösteren yörüngedir. Sağda, bu iki sürat kuyrukları çarpıştırılmak için hareket ettiriliyor. Hız sabit olduğu için, sağdaki sürat vektörler zaman geçtikçe bir daire oluşturuyor. Bir dθ = ω dt süpürülme açısı için, v’deki değişiklik v’nin sağ açılarında ve v dθ genliğinde bir vektördü, ki bu dolayısıyla ivme genliği şöyle verilmiştir:

$a = v \frac{d\theta}{dt} = v\omega = \frac{v^2}{r}$

Bazı sürat yarıçap ve genlik değerleri için merkezcil ivme

Centripetal acceleration for some values of radius and magnitude of velocity

|v|   r		1 m/s 3.6 km/h 2.2 mph	2 m/s 7.2 km/h 4.5 mph	5 m/s 18 km/h 11 mph	10 m/s 36 km/h 22 mph	20 m/s 72 km/h 45 mph	50 m/s 180 km/h 110 mph	100 m/s 360 km/h 220 mph
		Slow walk		Bicycle		City car		Aerobatics
10 cm 3.9 in	Laboratory centrifuge	10 m/s² 1.0 g	40 m/s² 4.1 g	250 m/s² 25 g	1.0 km/s² 100 g	4.0 km/s² 410 g	25 km/s² 2500 g	100 km/s² 10000 g
20 cm 7.9 in		5.0 m/s² 0.51 g	20 m/s² 2.0 g	130 m/s² 13 g	500 m/s² 51 g	2.0 km/s² 200 g	13 km/s² 1300 g	50 km/s² 5100 g
50 cm 1.6 ft		2.0 m/s² 0.20 g	8.0 m/s² 0.82 g	50 m/s² 5.1 g	200 m/s² 20 g	800 m/s² 82 g	5.0 km/s² 510 g	20 km/s² 2000 g
1 m 3.3 ft	Playground carousel	1.0 m/s² 0.10 g	4.0 m/s² 0.41 g	25 m/s² 2.5 g	100 m/s² 10 g	400 m/s² 41 g	2.5 km/s² 250 g	10 km/s² 1000 g
2 m 6.6 ft		500 mm/s² 0.051 g	2.0 m/s² 0.20 g	13 m/s² 1.3 g	50 m/s² 5.1 g	200 m/s² 20 g	1.3 km/s² 130 g	5.0 km/s² 510 g
5 m 16 ft		200 mm/s² 0.020 g	800 mm/s² 0.082 g	5.0 m/s² 0.51 g	20 m/s² 2.0 g	80 m/s² 8.2 g	500 m/s² 51 g	2.0 km/s² 200 g
10 m 33 ft	Roller-coaster vertical loop	100 mm/s² 0.010 g	400 mm/s² 0.041 g	2.5 m/s² 0.25 g	10 m/s² 1.0 g	40 m/s² 4.1 g	250 m/s² 25 g	1.0 km/s² 100 g
20 m 66 ft		50 mm/s² 0.0051 g	200 mm/s² 0.020 g	1.3 m/s² 0.13 g	5.0 m/s² 0.51 g	20 m/s² 2 g	130 m/s² 13 g	500 m/s² 51 g
50 m 160 ft		20 mm/s² 0.0020 g	80 mm/s² 0.0082 g	500 mm/s² 0.051 g	2.0 m/s² 0.20 g	8.0 m/s² 0.82 g	50 m/s² 5.1 g	200 m/s² 20 g
100 m 330 ft	Freeway on-ramp	10 mm/s² 0.0010 g	40 mm/s² 0.0041 g	250 mm/s² 0.025 g	1.0 m/s² 0.10 g	4.0 m/s² 0.41 g	25 m/s² 2.5 g	100 m/s² 10 g
200 m 660 ft		5.0 mm/s² 0.00051 g	20 mm/s² 0.0020 g	130 m/s² 0.013 g	500 mm/s² 0.051 g	2.0 m/s² 0.20 g	13 m/s² 1.3 g	50 m/s² 5.1 g
500 m 1600 ft		2.0 mm/s² 0.00020 g	8.0 mm/s² 0.00082 g	50 mm/s² 0.0051 g	200 mm/s² 0.020 g	800 mm/s² 0.082 g	5.0 m/s² 0.51 g	20 m/s² 2.0 g
1 km 3300 ft	High-speed railway	1.0 mm/s² 0.00010 g	4.0 mm/s² 0.00041 g	25 mm/s² 0.0025 g	100 mm/s² 0.010 g	400 mm/s² 0.041 g	2.5 m/s² 0.25 g	10 m/s² 1.0 g

Düzensiz Dairesel Hareket

Düzensiz dairesel hareket dairesel bir yolda hareket eden bir nesnenin sahip olduğu değişken bir hızın olduğu her durumdur. Teğetsel ivme sıfırdan farklıdır; hız değişkendir.

Sıfırdan farklı bir teğetsel ivme olduğu için, kendi merkezcil gücüne (kütle ve radyal ivmeden oluşan) ek olarak, bir nesne üzerine etki eden güçler vardır. Bu güçler ağırlık, normal kuvvet ve sürtünme kuvvetini içerir.

Düzensiz dairesel harekette, normal kuvvet her zaman ağırlığın tersi yöne doğrulmaz. İşte düz bir şekilde hareket eden ve aniden düz bir yola geri atlayan bir nesne görüyorsunuz. Bu diyagram ağırlığın tersi yönden ziyade farklı yönlere doğrulan normal kuvveti gösteriyor. Normal kuvvet aslında ağırlık kuvvetini önlemek ve merkezcil kuvvete katkı sağlamaya yardım eden radyal ve teğet kuvvetlerin toplamıdır. Merkezcil kuvvete katkı sağlayan Normal kuvvetin yatay bileşenidir. Normal kuvvetin dikey bileşeni ise nesnenin ağırlığına karşı koyar.

Düzensiz dairesel harekette normal kuvvet ve ağırlık aynı yöne doğru olabilir. İki kuvvet de aşağıya doğrulabilir fakat nesne aşağıya düşmeden dairesel bir yolda kalacaktır. Öncelikle normal kuvvetin neden ilk olarak aşağıya doğrulacağını görelim. İlk diyagramda, nesnenin bir uçağın içinde oturan bir insan olduğunu varsayalım, iki güç de yalnızca nesne dairenin tepesine ulaştığında aşağıya yöneliyor. Hem ağırlık hem de merkezcil kuvvet dairenin tepesindeyken aşağıya yöneldiğinden, normal kuvvet de aşağıya yönelecektir. Mantıklı bir açıdan, uçakta seyahat eden bir kişi dairenin tepe noktasında tepetaklak olacaktır. O anda, kişinin koltuğu aslında kişi üzerine bastırır ve bu normal kuvvettir

Nesnenin yalnızca aşağıya doğru olan kuvvetlere maruz kaldığında aşağıya düşmeme nedeni basittir. Bir nesneyi fırlatıldıktan sonra havada tutanın ne olduğunu bir düşünün. Bir nesne havaya atıldığı anda, nesne üzerine etki eden aşağıya doğru tek kuvvet yerçekimi kuvvetidir. Bu bir nesne havaya atıldığında hemen yere düşeceği anlamına gelmez. Nesneyi havada tutan şey süratidir. Newton’un hareket yasalarının ilki bir nesnenin eylemsizliği onu hareketli tuttuğunu belirtir ve nesne havadayken bir sürati olduğundan o yönde hareket etmeyi sürdürmeye eğilim gösterir.

Uygulamalar

Düzensiz dairesel hareket ile ilgili çözüm uygulamaları kuvvet analizlerini içerir. Düzgün dairesel hareketle, bir dairede hareket eden nesne üzerine etki eden tek kuvvet merkezcil kuvvettir. Düzensiz dairesel harekette, sıfırdan farklı bir teğetsel ivmeden dolayı nesne üzerine etkiyen ek kuvvetler vardır. Ek kuvvetler olmasına rağmen, nesne üzerine etki eden bütün kuvvetlerin toplamı merkezcil kuvvete eşit olmak zorundadır.

$F_{net} = ma\,$

$F_{net} = ma_r\,$

$F_{net} = mv^2/r\,$

$F_{net} = F_c\,$

Radyal ivme total kuvvet hesaplanırken kullanılır. Teğetsel ivme nesneyi bir dairesel yolda tutmaktan sorumlu olmadığı için hesaplamada kullanılmaz. Nesneyi dairede hareket halinde tutan tek ivme radyal ivmedir. Bütün kuvvetlerin toplamı merkezcil kuvvet olduğu için, merkezcil kuvveti serbest cisim diyagramına çizmek gerekli değildir ve genellikle önerilmez.

$F_{net} = F_c\,$’yı kullanarak, cisme etki eden ve $F_c\,$’ye eşit kılan bütün kuvvetleri listelemek için serbest cisim diyagramları çizebiliriz. Daha sonra, bilinmeyenin ne olduğunu (bu bir kütle, sürat, eğrilme yarıçapı, sürtünme katsayısı, normal kuvvet vb. olabilir) çözebiliriz. Örneğin yukarıdaki bir yarım dairenin tepe noktasındaki nesneyi gösteren görsel $F_c = (n+mg)\,$. olarak ifade edilebilir.

Düzgün dairesel harekette, dairesel yoldaki bir nesnenin total ivmesi radyal ivmeye eşittir. Düzensiz dairesel harekette teğetsel ivme var olduğundan, bu geçerli olmuyor. Düzensiz dairesel harekette bir nesnenin total ivmesini bulmak için, radyal ve teğetsel ivmenin toplam vektörünü bulun.

$\sqrt{a_r^2+a_t^2}=a$

Radyal ivme yine $v^2/r$.’ye eşittir. Teğetsel ivme basit olarak verilen herhangi bir noktada süratin türevidir: $a_t = dv/dt \,$. Bu ayrı radyal ve teğetsel ivmelerin karelerinin toplamı kökü, yalnızca dairesel hareket için doğrudur; bu durumda radyal ivme $a_r=- v^2/r+d^2 r/dt^2$. olduğu için polar koordinatlarla $(r,\theta)$ bir uçak içindeki genel hareket için Coriolis terimi $a_c = 2(dr/dt)(d\theta/dt)$ $a_t$’ye eklenmelidir.