Determinant
Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.
Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:
- matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: .
Basit bir örnek olarak,
matrisinin determinantı şudur:
Determinantın açık tanımı
Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:
- .
Determinant ve geometri
Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.
Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.
Determinantın temel özellikleri
- Birim matrisin determinantı birdir:
- Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:
- .
- det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A−1 tanımlıdır. Bu durumda:
- .
- A ve B benzer matrisler olsun: ve dönüşüm matrisi X in tersi tanımlı olsun. Bu durumda:
- .
- Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:
- .
- Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:
- .
Kalıp Matrisler (Blok matrisler)
Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:
Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda
denkliği yazılabilir, ve burdan determinant
şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz.
Ayrıca,
C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, .
A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, .
B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, .
A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, .
Notlar
- Bu sayfanın içeriği aynı adlı İngilizce makaleden alınmıştır: en:Wikipedia:Determinant