Dirichlet çekirdeği

Matematiksel analizde, Dirichlet çekirdeği fonksiyonlarının koleksiyonudur

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$

Peter Gustav Lejeune Dirichlet adına ithafen .

Fourier serisine ilişkisinden gelen Dirichlet çekirdeği önemlidir. 2π periyod'un herhangi bir f fonksiyonu ile D_n(x) nin evrişimi f 'e n inci-derece Fourier serisi yaklaşımıdır , yani ,

${\displaystyle (D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$

elde ederiz burada

${\displaystyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx}$

f in k inci Fourier katsayılarıdır. Bu Fourier serilerinin yakınsaklığını incelemek için bu Dirichlet çekirdeğinin özelliklerini incelemenin yeterli olacağını ima eder.Özel önem aslında n → ∞ olarak sonsuza ıraksayan D_n nin normu L¹ dir. Tek tahmin şudur

${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=O(\log n)}$.

Bu eksiklik tektip integrallebilirin Fourier serisi için birçok ıraksak fenomen altındadır. Örneğin,düzgün sınırlılık ilkesi ile birlikte, bir sürekli fonksiyonun Fourier serisi olduğunu göstermek için kullanılabilen noktasal yakınsama oldukça dramatik bir şekilde başarısız olabilir,. Daha ileri ayrıntı için Fourier serisinin yakınsamasına bakınız

ilk birkaç Dirichlet çekirdeğinin çizimi

Delta fonksiyona ilişki

Periyodik Dirac delta fonksiyonu alıyoruz, bu gerçekten bir fonksiyon değildir, Başka içine yerleştirilen bir eşleme anlamında, ama oldukça bir "genelleştirilmiş fonksiyon"dur ayrıca bir "dağılım" denir, ve 2π ile çarpımı ile,2π periyodunun fonksiyonları üzerinde evrişim için özdeş öge alıyoruz . Diğer bir değişle, elimizdeki

${\displaystyle f*(2\pi \delta )=f\,}$

2π periyodun her f fonksiyonu içindir.Bu "fonksiyon"un Fourier serisi gösterimi

${\displaystyle 2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}$

Dirichlet çekirdeği bunun için, bu serilerin sadece kısmi toplamının dizisidir, bir yaklaşık denklik olarak düşünülebilir. Özetle bu her zaman pozitif ögelerin bir yaklaşık denkliği değildir (bu nedenle yukardaki mantık hatalıdır).

Trigonometrik denkliğin kanıtı

trigonometrik denklik

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$

aşağıdaki gibi, bu makalenin üstünde görüntülenen tayin edilebilir. İlk olarak bir sonlu geometrik serilerin toplamı yerine konur

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$

özel olarak,

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$

elde ederiz

r^−1/2 ile hem pay hem payda çarpılır,

${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$

alınıyor.Bu durumda r = e^ix

olarak gerekeni

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$

elde ederiz

Trigonometrik denkliğin alternatif kanıtları

${\displaystyle f(x)=1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx).}$

serisi ile başlarız.

ile yukardaki iki taraflı çarpım

${\displaystyle 2\sin(x/2)\!}$

ve trigonometrik denklik kullanılıyor

${\displaystyle \cos(a)\sin(b)=(\sin(a+b)-\sin(a-b))/2\!}$

r.h.s.ye

${\displaystyle \sin((n+1/2)x).\!}$ için indirgenir

Denkliğin çeşitleri

Eğer toplam yalnızca pozitif tamsayılar üzerinde (Bir DFT bu işlem sırasında ortaya çıkabilecek merkezli değildir), ise aynı tekniklerin aşağıda kullanıldığını görebiliriz:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}e^{ikx}=e^{ixn/2}{\frac {\sin((n/2+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$

Kaynakça

• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Dirichlet kernel", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/d032880.htm 
• Dirichlet-Kernel at PlanetMath