Euler-Mascheroni sabiti

Başlığın diğer anlamları için Euler (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Matematiksel Analiz'in sayı teorisi'nde Euler–Mascheroni sabiti' matematiksel sabit'tir .Yunan harfi γ (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile Doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.}$

sayısal değerin 50 basamağı:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

${\displaystyle \gamma }$ ile e sayısı karıştırılmamalıdır e Euler sayısı,Doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

Tarihçe

Sabit 1735'te isviçre'li matematikçi Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon C ve O dur. 1790'te, Italian matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon A ve a 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi,daha sonra gamma fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı.Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.^[1]

Tezahürleri

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür :

• üstel integral ifadelerinde.
• doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde.
• Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim,burada Stieljes sabiti ilk terimdir.
• Digama fonksiyonu hesaplamaları
• Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül
• Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik
• Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri
• Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama
• Mertens'in üçüncü teoremi
• ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü.
• Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının Boyutsal düzenlenmesinde .
• Gumbel dağılımının anlamı ile.

Bu tür için daha fazla bilgi,bkz: Gourdon ve Sebah (2004). rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

Kimliği

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığıda bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10²⁴²⁰⁸⁰ 'dan büyük olmalıdır. Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur.Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız: Gourdon and Sebah (2002).

Gama fonksiyonu ile ilişkisi

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:

${\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$

Bunun limiti:

${\displaystyle -\gamma =\lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim _{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.}$

Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma }$

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.}$

beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}.}$

${\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(\Gamma (k+1)).}$

Zeta fonksiyonu ile ilişkisi

Pozitif tamsayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$

zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

${\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

ve

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right).\end{aligned}}}$

rasyonel zeta serisi ifadesi ilede yakında ilişkilidir.

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}$

Burada ζ(s,k) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., H_n. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon }$, burada ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}.}$

Notlar

1. Krämer 2005

Kaynakça

• Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function". Journal of Computational and Applied Mathematics 121: 11.  Derives γ as sums over Riemann zeta functions.
• Gourdon, Xavier, and Sebah, P. (2002) "Collection of formulas for Euler's constant, γ."
• ----- (2004) "The Euler constant: γ."
• Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4
• Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen.
• Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220.
• ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin, Mathematica Slovaca 59: 307-314.
• ------ (2003) "An infinite product for e^γ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ."
• ------ (2003a) "Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344.
• ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65.
• ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π."
• ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.
• G. Vacca (1926), "Nuova serie per la costante di Eulero, C = 0,577…". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (6) 3, 19–20.
• James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p. 25-30, JFM 03.0130.01
• Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p. 257-285 (submitted 1835)
• Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini.
• Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at: http://books.google.de/books?id=XkgDAAAAQAAJ
• Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9. 

Dış bağlantılar

• Krämer, Stefan "Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History."
• Jonathan Sondow.