Fermat sayıları

Fermat sayıları, n sıfırdan küçük olmayan bir tam sayı olmak üzere,

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}$

şeklinde yazılabilen sayılardır. İsimlerini, bu sayıları ilk kez incelemiş olan 17. yüzyıl matematikçisi Pierre de Fermat'dan alırlar. İlk dokuz Fermat sayısı şunlardır:

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457

F₈ = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937.

D

Bu sayılardan ilk beşi, yani F₀,...,F₄ asal sayılardır, ve bunlara Fermat asalı denir. Fermat 1650'de tüm Fermat sayılarının asal olduğunu ileri sürmüş, fakat Leonhard Euler 1732'de F₅'i iki çarpana ayırarak bu iddiayı çürütmüştür:

${\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}$

Bugün, F₅,...,F₁₁'in asal olmadığı bilinmektedir. n büyüdükçe F_n sayısı çok büyük değerler almaya başladığından, Fermat sayılarını çarpanlarına ayırmak da zorlaşmaktadır. Nitekim n > 11 için Fermat sayıları henüz asal çarpanlarına ayrılamamıştır. Dolayısıyla, n > 4 için asal bir Fermat sayısı olup olmadığı hala açık bir sorudur.