Fraktal

Sierpinski üçgeni; mutlak surette simetrik bir fraktal.

Bir fraktalı giderek yakınlaşarak izleyen bir animasyon. Simetriye dikkat ediniz.

Mandelbrot kümesinin oluşturduğu fraktal.

Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Eukleidesçi geometrideki kare, daire, küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar, doğadaki, Eukleidesçi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimli tanımlama yeteneğine sahiptir. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975'te Polonya asıllı matematikçi Benoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.

Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik, yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler, düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)

Fraktal Boyut

Fraktalların belirleyici bir özelliği, fraktal boyut olarak adlandırılan bir matematiksel parametredir. Bu parametrenin bütün fraktallar için geçerli, basit bir tanımı yoktur; Mandelbrot bu parametreyi Haussdorf-Besicovitch boyutu ile denk tutmaktadır. Fraktal boyut, Eukleidesçi şekiller için topolojik boyutlarına eşit, fraktallar için topolojik boyutlarından büyüktür. Örneğin Cantor kümesinin fraktal boyutu ${\displaystyle D=\log 2/\log 3\sim 0.6309>0}$, topolojik boyutu ise ${\displaystyle D_{T}=0}$'dır.^[1]:14-15

Kendisinin tam bir kopyasını daha küçük boyutlarda içeren fraktallar için fraktal boyutu ve kendine benzerlik boyutu değerleri aynıdır. Bir şekil kendisine benzeyen ${\displaystyle n}$ kadar kopyadan oluşuyor ve her bir kopya özgün şekle göre, uzunluk olarak, ${\displaystyle 1/m}$ büyüklüğünde ise, bu şeklin kendine benzeme boyutu ${\displaystyle \log n/\log m}$ ile verilir. Yukarıda örnek olarak verilen Sierpinski üçgeni, kendine benzeyen ${\displaystyle n=3}$ kopyadan oluşmuş, her bir kopya da özgün şeklin yarısı (${\displaystyle m=2}$) uzunluğundadır; dolayısıyla Sierpinski üçgenin fraktal boyutu ${\displaystyle D=\log 3/\log 2\sim 1.585}$'tir.

Teorinin gelişimi

Benoit Mandelbrot, IBM laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun kuramı, iktisat, emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti. Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı. Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı. Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare, sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti; ama sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştır. İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişi güzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi. İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı. Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur. Mandelbrot, bir günlük veri trafiğini birer saatlik periyotlara ayırdı. Daha sonra, hatanın gözlendiği periyotları ele alıp bu periyotlar yirmişer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birer saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı. Mandelbrot, hatalı bölümler daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti. Ve sonunda hatasız periyotların halen var olduğunu gösterdi. Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot'un dikkatini çekti: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluğundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu.

Kaynakça

1. Mandelbrot, Benoit B. (1983) [1977] (İngilizce). Fractal Geometry of Nature (yenilenmiş ve ekli bas.). New York, ABD: W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-1186-5.