Fresnel kırınımı

Fresnel kırınımı ya da yakın-alan kırınımı dalganın yarıktan geçerken, yarık ve projeksiyon arasındaki uzaklığa bağlı olarak büyüklüğünde ve şeklinde değişkenlik gösteren kırınım desenlerine sahip olacak şekilde yakın alanda oluşan kırınım sürecidir.^[1] Fresnel sayısının 1’den büyük olduğu durumlarda kırınan dalgaların yayıldığı kısa mesafeden dolayı oluşur. Mesafe arttıkça, ilerleyen kırınım dalgaları düzlem ve Fraunhofer kırınımı oluşturur. Birçok Fresnel kırınımının periyodik bombeler yakınında konumlanması yansımanın aynadan yansımış gibi olmasına neden olur; bu sonuç atomik aynalar için kullanılabilir.

$F = \frac{a^{2}}{L \lambda}$

$a\!$ : yarığın karakteristik genişlipi

$L\!$ : gözlemlenen noktanın yarığa olan uzaklığı

$\lambda\!$ : dalga boyu.

Arago spot merkezli Fresnel kırınım

Fenomen üzerindeki ilk uygulamalar

Fresnel kırınımı olarak bilinen çalışmanın ilk oluşum sürecinin bir kısmı 17. Yüzyıl İtalyasında Francesco Maria Grimaldi tarafından gerçekleştirilmiştir. “Light”^[2] isimli monografisinde Richard C Maclaurin Fresnel kırınımını ışığın yayılımı boyunca neler gerçekleştiği ve uzaktaki bir kaynaktan üretilen ışının yarık ya da deliği olan engelden geçerken nasıl etkilendiği sorularıyla açıklamıştır. Klasik terimlerce ortaya neler çıktığını incelemek adına Huygens prensipleridden yararlanmıştır. Yarıktan ilerleyen ve biraz uzaktaki tarama ekranına düşen dalga cephesi bir aralıktan herhangi bir gerçek fiziksel kenarla etkileşime geçmesi önemsenmeksizin yayılan dalga cephesine çok benzerlik gösterir Sonuç olarak aralık çok dar olduğunda sadece parlak merkezli kırınım şekillerinin oluştuğuna varılmıştır. Aralık devamlı genişletilirse de sırayla karanlık merkezli kırınım desenleriyle parlak merkezli kırınım desenleri oluşur. Aralık daha geniş olduğundaysa, aydınlık ve karanlık şeritler arasındaki fark kırınım etkisi saptanamayacak kadar azalır. MacLaurin küçük bir delikten geçen ışığın oluşturduğu kırınım halkaları dizisinin merkezinin karanlık olabileceğinden bahsetmiyor, fakat tersi durumunun; yani küresel küçük bir cisim tarafından oluşturulan gölgenin paradoksal bir biçimde parlak merkezi olabileceğinin üzerinde durmuştur Francis Weston Sears “Optics”^[3] de Fresnel tarafından ortaya atılan kırınım desenlerinin ana hatlarını öngören ve sade bir matematik kullanılan bir yaklaşım öneriyor. Engel üzerindeki delik ve tarama ekranındaki dik uzaklık ile gelen ışının dalga boyu göz önüne alındığında yarı-zamanlı(yarı-periodlu) elemanlar veya Fresnel bölgesi denilen bölgelerin sayısını hesaplamak mümkün oluyor. İç bölge yuvarlaktır ve onu takip eden her bölge ise eşmerkezli halkalar şeklindedir. Eğer ekrandaki deliğin çapı ilk ya da merkez Fresnel bölgesini ortaya çıkarmak için yeterliyse, tarama ekranının merkezindeki ışığın genliği tarama ekranının engellenmemiş durumundakinin iki katı olur. Eğer ekrandaki deliğin çapı iki Fresnel bölgesi oluşturmak için yeterliyse, merkezdeki genlikler neredeyse sıfırdır. Bu Fresnel kırınım deseninin karanlık bir merkezi olabileceği anlamına gelir. Bu desenler gözlenebilir ve ölçülebilirdir hatta ölçümler hesaplanan değerlerle büyük oranda uyum sağlar.

Fresnel Kırınım İntegrali

(x,y,z) noktasındaki kırınım elektrik alan motifi aşağıda verilen formülle bulunur;

$E(x,y,z)={z \over {i \lambda}} \iint_{-\infty}^{+\infty}{ E(x',y',0) \frac{e^{ikr}}{r^2}}dx'dy'$

$r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}$

$i \,$ karmaşık birim sayısı.

Bu integralin analitik çözümü basit kırınım geometrileri dışında kalan durumlar için imkânsızdır, bu yüzden nümerik hesaplanma yapılır.

Fresnel yakınsaması

Çözümde asıl problem r terimindedir, öncelikle aşağıda belirtilen ifadeyi kullanarak integrali daha basit bir hale getirebiliriz.

$\rho^2 = (x-x')^2+(y-y')^2 \,$

Bunu r’ın içine yerleştirdiğimizde;

$r= \sqrt{\rho^2+z^2} = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} }$

ifadesini elde ederiz.

Sonrasında Taylor seri açılımı yardımıyla;

$\sqrt{1+u} = (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots$

r’ı aşağıdaki şeklinde elde etmiş oluruz.

$r = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} }$

$= z \left[ 1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right]$

$= z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots$

Taylor serisinin bütün terimlerini göz önünde bulundurursak, yaklaşımda bulunmamış oluruz. İfadeyi integral içerisindeki üssel argümanda yerine koyalım; üçüncü elemanın çok küçük ve göz ardı edilebiliyor oluşu Fresnel yaklaşımının kilit noktasıdır. Yalnız bu varsayımın mümkün olması için üsselin bütün sıfır terimleri için değişimin sağlanması gerekir, yani karmaşık üsselin periodundan daha küçül bir değere sahip olmalıdır,2π gibi.

$k \frac{\rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi$

k’yı λ cinsinden ifade edecek olursak;

$k = { 2 \pi \over \lambda } \,$

aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz;

$\frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8$

Her iki tarafı da $z^3/\lambda^3$ ile çarparsak;

$\frac{\rho^4}{\lambda^4} \ll 8 {z^3 \over \lambda^3}$

elde ederiz, ρ² için daha önce tanımladığımız ifadeyi de yerine koyarsak;

$\frac{[(x-x')^2+(y-y')^2]^2}{ \lambda^4} \ll 8 {z^3 \over \lambda^3}$

bağıntı bu şekilde son halini alır.

Bağıntı tüm x ve y değerlerinde geçerliliğini koruyorsa, üçüncü terim göz ardı edilebilir. Ayrıca, eger üçüncü terim göz ardı edilebiliyorsa, daha yüksek dereceli terimler de göz ardı edilebilir. Optik dalga boylarını içeren uygulamalar için, dalga boyu λ genellikle uygun fiziksel boyutlardan daha küçük olan yüksek kuvvetli bir büyüklüğe sahiptir. Özellikle; λ<< z ve λ<< ρ Bu yüzden gereken eşitsizlik ρ<<z olduğu sürece doğrudur O zaman ifadeyi yalnızca ilk iki terimi kullanarak elde edebiliriz.

$r \approx z + \frac{(x-x')^2 +(y-y')^2}{2 z}$

Bu denklem Fresnel yakınsamasıdır ve yukarıda belirtilen eşitsizlik yaklaşımın geçerliliğinin sağlanması için gereken koşuldur.

Fresnel kırınımı

Fresnel kırınımı geçerlilik koşulu: $F = \frac{a^2}{L\lambda} \ge 1$

Fraunhofer kırınımı geçerlilik koşulu: $F = \frac{a^2}{L\lambda} \ll 1$

$a$ - yarık genişliği, $\lambda$ - dalga boyu, $L$ - yarıktan uzaklık

Yarığın yörünge uzunluğuna göre kısa olduğu durumlarda, geçerlilik koşulunun oldukça zayıf olmasından ötürü bütün uzunluk parametreleri karşılaştırılabilinir değerler alabilir. Bu yüzden paydadaki r’ı ilk terim z’ye yakınsayabiliriz. Tabi x ve y’nin z’den çok küçük değerler alabildiği orijine yakın küçük bir alandaki hareketi inceliyorsak bu yakınsama geçerlidir. Ayrıca, nokta ve yarık arasındaki uzaklığın dalga boyundan çok çok büyük olması yani Fresnel koşulunun sağlanması durumunda ise her zaman geçerlidir. Fresnel kırınımındaki herhangi bir (x,y,z) noktası için elektrik alan;

$E(x,y,z)=\frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy'$

Ayrıca bu Fresnel kırınım integralidir; yani Fresnel yakınsaması geçerliyse, yayılma alanında yarık merkezli ve z yönü boyunca ilerleyen küresel bir dalga oluşur. İntegral bu küresel dalganın genliğini ve fazını ayarlar. Nadir durumlar içinse yalnızca analitik çözüm geçerlidir. Daha özel durumlarda da kırınım kaynağından çok uzakta olunduğunda geçerlidir. Fraunhofer kırınımının aksine, Fresnel kırınımında girişen dalgaların göreceli fazının doğru hesaplanabilmesi için dalga yüzünün eğimi hesaba katılır.

Kaynaklar

1. M. Born & E. Wolf, Principles of Optics, 1999, Cambridge University Press, Cambridge
2. Light," by Richard C. MacLaurin, 1909, Columbia University Press
3. Optics, Francis Weston Sears, p. 248ff, Addison-Wesley, 1948