Goldbach hipotezi

Goldbach sanısı

Sayılar kuramında Goldbach sanısı, "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir" iddiasıdır. Çözülememiş en eski matematik problemlerinden biridir. Bilgisayarda yapılan deneyler tarafından çok büyük sayılara kadar doğrulandığı halde henüz genel kabul görmüş bir ispatı yoktur.

Tarihi

7 Haziran 1742 tarihinde, Alman matematikçi Christian Goldbach, Leonhard Euler'e yazdığı bir mektupta, sayılar kuramının çözüme varılamamış konularından birine işaret etmiştir. Goldbach, “İki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilen her tam sayı, aynı zamanda şartlar uygunsa ikiden daha çok asal sayı tarafından da yazılabilir.” demiştir.

Daha sonra bu varsayımını yeterli bulmamış, düzeltmeye gitmiştir. “2’den büyük her tamsayı 3 asal sayının toplamından bulunabilir.” Burada Goldbach, ‘1’ sayısını da asal sayılara dahil ederek böyle bir çıkarımda bulunmuştur.

Euler'in cevabı, 30 Haziran 1742'de gelmiştir. Demektedir ki; “2'den büyük her çift tam sayı, iki asal sayının toplamından bulunabilir.”

İşlemler ve doğruluğuna yönelik iddiaları kuvvetlendiren çözümler

Temel olarak dikkatle bakacak olursak bu proje matematiğin en temelindeki bilgileri başlangıç noktası olarak görmüştür. TOPLAMA işlemini…

Goldbach'ın bu hipotezinden yola çıkılarak yapılan ikinci saptamaya uygulanabilirliği açısından daha çok sahip çıkılmıştır. Çünkü akıldan hesaplanma kolaylığı sınırını ilerlettikçe, üç sayının toplamıyla uğraşmak, iki sayının toplamıyla uğraşmaktan daha zor ve çetrefilli bir hal alacaktır.

Yapılan açıklamanın pek de karmaşık olmayan sayılarla verilmiş bir örneğini aşağıda görebiliriz:

6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11
16 = 3 + 13
18 = 5 + 13
20 = 3 + 17
22 = 3 + 19
24 = 5 + 19
26 = 3 + 23
28 = 5 + 23

. . .

Dünyadaki tüm Goldbach sayılarının hesaplamaları el yordamıyla gerçekleştirilemez. Hipotezin daha deneysel araştırmalarına göz atmamız gerekmektedir.

Hipotezin yıllar içerisindeki gelişimi

Euler, Goldbach’ın bu hipotezine ikna olmuştur ancak bu varsayımı ispatlayamamıştır. 1923 yılında, Hardy ve Littlewood isimli matematikçiler, bu varsayımı büyük tek sayıları kullanarak kısmen ispatlamışlardır. Bu kısmi ispata göz atacak olursak;

“Bir N0 alınır ve tüm tek n sayıları bu N0’dan büyüktürler. Bunun yanında bu n’ler 3 asal sayının toplamına eşittir.”

Rus matematikçi Vingradov, 1937 ila 1954 yılları arasında yaptığı çalışmalarla, tekrar ilk varsayımı – kısmen ispatlanan kısmı yine tüm sayılar âlemini içine alamadan kanıtlamıştır -ki bu da bir diğer kısmi ispattır. Burada büyük tek rakamları ve analitik metotları kullanarak sonuca ulaşmıştır. n0’ın hesaplanması sonucu 3^3^15 değerini bulduğumuzda çıkan sonuç 6.846.169 basamaklı bir sayı olmuştur. Bu da Ribenboim’in 1988 ila 1995 yılları arasında yaptığı çalışmalarla doğrulanmıştır.

1966 yılında Chen Jing-Run adlı Çinli matematikçi de kanıtlamıştır ki; her yüksek mertebeli çift sayı, aynı zamanda iki asal sayıdan fazla olmayacak sayıların toplamı şeklinde ifade edilebilir.

Goldbach’ın hipotezi sadece tek bir kişi tarafından kabaca ifadelerle kanıtlanabilmiştir. Bu ispata dair; 130 CPU saati kullanılarak, IBM 3083 Sinisalo’da 4*10^11. sayıya kadar gelinebilmiştir. Bunu kullanmasına rağmen Sinisalo, Q Basic programı deneme birimlerini işleterek aynı stratejiyi ele almıştır. Bu izlek tek numaraların alınmasını içerir. Küçük asal sayıları bulmak için (3’ten n/2’ye kadar olan sayıları) tek sayılar olarak almıştır. Eğer p asal sayıysa, bunların farkı n-p’dir ve bu da asallık için test edilmiştir. Eğer bu fark asal ise işlem tamamlanır ve bir çift bulunur. İlk bulunan çift de minimum Goldbach kısmi değeridir.

Eğer Goldbach’ın hipotezi doğruysa, herhangi çift bir n için; q=n-p asal sayı denklemini doğrulayan herhangi bir n çift sayısı ve p asal sayısı vardır. Goldbach bölünmesi n=p+q olarak da gösterilebilir. P ve q asal sayılardır. Goldbach ayrışımında en küçük asal sayı ayrılmış fonksiyon g(n) ile gösterilebilir.

Grafikteki notlardan emin olmak için, burada çok fazla sayıda dikey bir abartı vardır. Grafikteki her koyu bant asal sayıları göstermektedir: 3,5,7,11, … . Bu noktada biraz kafa karıştırıcıdır. Öyleyse tabloda n’ in sürekli artan minimum değer serilerine bakılır.

Tablo n’ in 1.000.000.000’dan küçük olan değerlerini göstermektedir. Son kolon ise g(n)/n oranını göstermektedir. Bu oran kısmen ilgi çekicidir çünkü bize g(n)’in maksimum değerlerini göstermektedir ve görülüyor ki g(n) her koşulda kendinden önce gelen sayıdan azdır. g(n) minimum Goldbach kısımlarının üzerinden sınır koyar.

Minimum Goldbach kısımlarının değerlerinin n < 1.000.000.000 için gösterimi

n g(n) n - g(n) g(n) / n
6 3 3 0.500000000
12 5 7 0.416666667
30 7 23 0.233333333
98 19 79 0.193877551
220 23 197 0.104545455
308 31 277 0.100649351
556 47 509 0.084532374
992 73 919 0.073588710
2642 103 2539 0.038985617
5372 139 5233 0.025874907
7426 173 7253 0.023296526
43532 211 43321 0.004847009
54244 233 54011 0.004295406
63274 293 62981 0.004630654
113672 313 113359 0.002753536
128168 331 127837 0.002582548
194428 359 194069 0.001846442
194470 383 194087 0.001969455
413572 389 413183 0.000940586
503222 523 502699 0.001039303
1077422 601 1076821 0.000557813
3526958 727 3526231 0.000206127
3807404 751 3806653 0.000197247
10759922 829 10759093 0.000077045
24106882 929 24105953 0.000038537
27789878 997 27788881 0.000035876
37998938 1039 37997899 0.000027343
60119912 1093 60118819 0.000018180
113632822 1163 113631659 0.000010235
187852862 1321 187851541 0.000007032
335070838 1427 335069411 0.000004259
419911924 1583 419910341 0.000003770
721013438 1789 721011649 0.000002481

Minimum Goldbach bölümlerine grafik olarak baktığımızda görürüz ki; n, 1.000.000.000’dan küçüktür ve burada ilginç bir ilişki gözlemlenir. Uygunluk ve çeviriye yardım için y doğrultusu g(n) iken, x doğrultusu da log 10(n) şeklinde gösterilir.

Olasılığın 1 olmasına ulaşamazsak burada bir tek top sayı, aralık içinde asal sayı çifti oluşturmuyor demektir. Bu da bir ispat değildir ancak hipotezin doğru yolda olduğunu düşündürür.

Kaynaklar

“Mark Herkommer’in 24 Mayıs 2004 tarihli Goldbach Hipotezi sunumu” http://www.petrospec-technologies.com/Herkommer/goldbach.htm;

“Why is the number one not prime?”;

This article is issued from Vikipedi - version of the 6/5/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.