Heegner sayıları

Sayı teorisinde, bir Heegner sayıları bir kare-free pozitif tamsayı d böylece sanal kuadratik alan Q(√−d) sınıf sayısı 1 var. Eşdeğeri tamsayıların halkasıdır eşsiz çarpanlama var.^[1]

Bu tür sayılarının belirlenmesi sınıf sayı probleminin özel bir durumudur, ve bu sayı kuramında birkaç çarpıcı sonuç yatar.

Stark–Heegner teoremine göre buradaki tam dokuz Heegner sayısıdır:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Bu sonuç Gauss tarafından varsayıldı ve Kurt Heegner tarafından 1952 içinde kanıtlandı.

Euler'in asal-üreten polinomali

Euler'in asal-üreten polinomali

${\displaystyle n^{2}-n+41,\,}$,

bu n = 1, ..., 40 için verilen(farklı) asallar,Heegner sayısıyla ilişkilidir 163 = 4 · 41 − 1.

Euler'in formülü,${\displaystyle n}$ ile alınan 1,... 40 değeri şuna eşdeğerdir

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

${\displaystyle n}$ ile alınan 0,... 39 değeri, ve Rabinowitz^[2] şunu kanıtladı

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ için verilen asal ancak ve ancak bunun diskriminant ${\displaystyle 1-4p}$ eşit eksi bir Heegner sayısı.

(Unutmadan ${\displaystyle p-1}$ elde edilen ${\displaystyle p^{2}}$, böylece ${\displaystyle p-2}$ maksimaldir.) 1, 2, ve 3 gerekli formu değildir, böylece Heegner sayıları bu iş ${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$dir,asal üreten fonksiyon ${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$ için Euler'in formu elde edilir; burada sonraki sayılar F. Le Lionnais tarafından Euler'ın şanslı sayıları denir .^[3]

Yaklaşık tamsayılar ve Ramanujan sabiti

Ramanujan'ın sabiti aşkın sayıdır^[4] ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$, bu bir yaklaşık tamsayı olmasıyla bir tamsayıya çok yakındır:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262{,}537{,}412{,}640{,}768{,}743.99999999999925...}$^[5] ${\displaystyle \approx 640320^{3}+744.}$

Bu sayılar 1859 içinde matematisyen Charles Hermite tarafından araştırıldı.^[6] 1975'te April Fool içinde Scientific American magazinindeki makalede,^[7] "Matematik Oyunlar" köşe yazarı Martin Gardner sayının aslında bir tamsayı olduğunu (oyun) iddia etti,ve Hint matematik dehası Srinivasa Ramanujan tahmini ve dolayısıyla adı var.

Bu sıklıkla j-değişmezinin q-açılımının karmaşık çarpımı ile açıklanıyor.

Ayrıntılar

Kısacası bir Heegner sayısı, ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)}$  d için bir tamsayıdır ve q-açılımı yoluyla ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744}$ .

Eğer ${\displaystyle \tau }$ bir kuadratik irrasyonel, ise j-değişmezi ${\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|}$ derecenin bir cebirsel tamsayısıdır , ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ nun sınıf sayısı ve minimal (monik integral) polinomali ona Hilbert sınıfı polinomali demek tatmin edicidir. Böylece eğer sanal kuadratik uzantı${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ sınıf sayısı 1 varsa(böylece d bir Heegner sayısıdır),j-değişmezi bir tamsayıdır.

j ninq-açılımı ile Fourier serisi açılımı bir Laurent serisi olarak yazılır${\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}$ nun terimleri içinde, olarak başlar:

${\displaystyle j(q)={\frac {1}{q}}+744+196884q+\cdots .}$

${\displaystyle c_{n}}$ katsayısı ${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n))}$ olarak asimptotik büyüyecek, ve düşük dereceden katsayıları ${\displaystyle 200000^{n}}$ den daha yavaş büyümeye devam edecek,böylece ${\displaystyle q\ll 1/200000}$ için, j ilk iki terimleri ile çok iyi yaklaşıktır . ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$ çerçevesi${\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})}$ elde edilir veya eşdeğeri, ${\displaystyle {\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}})}$. Şimdi ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640320)^{3}}$, böylece,

${\displaystyle (-640320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}$

Veya,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$

burada hata doğrusal terimdir,

${\displaystyle -196884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 196884/(640320^{3}+744)\approx -0.00000000000075}$

açıklayan neden ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ yaklaşık yukarıdaki içinde bir tamsayıdır.

Diğer Heegner sayıları

Dört büyük Heegner sayılar için, tek bir elde yaklaşımları^[8] aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5280^{3}+744-0.0000013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+744-0.00000000000075\end{aligned}}}$

Alternatif olarak,^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.0000013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.00000000000075\end{aligned}}}$

burada kareler için belli Eisenstein serisine bağlıdır.Heegner sayıları için ${\displaystyle d<19}$, tek bir elde değil hemen hemen tam sayıdır; çift ${\displaystyle d=19}$ önemli değildir.^[10] Tamsayı j-değişmezleri yüksek çarpanlaştırılabilir,bu ${\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}}$ formdan aşağıda, ve faktör olarak,

${\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}}$

Bu aşkın sayı ek olarak, yakın tam sayı ile tahmin ediliyor, (bu 1 derecelinin basitcebirsel sayıları ), Ayrıca 3 derecelinin cebrik sayıları ile yakın yaklaşık olabilir,^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}$

(τ)Dedekind eta fonksiyonunun katsayıları ile tam verilebilen kübiklerin kökleridir, involving bir 24. kökü içeren bir modüler fonksiyon , ve yaklasıklıkta 24 açıklıyor. Buna ek olarak, derecesi 4 cebirsel sayılar ile aynı zamanda yakın yaklaşıklık olabilir,^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(-3+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.00006\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(-39+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000000061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(-219+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.00000000036\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(-26679+2413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.00000000000000021\dots \end{aligned}}}$

şu çarpanlar olarak,${\displaystyle n=3,9,21,231}$ iyi olarak tamsayıların yeniden ortaya çıkmasını unutmayın

${\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-3^{2}+3\cdot 19\cdot 1^{2})=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-39^{2}+3\cdot 43\cdot 7^{2})=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-219^{2}+3\cdot 67\cdot 31^{2})=5280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-26679^{2}+3\cdot 163\cdot 2413^{2})=640320^{2}\end{aligned}}}$

bu, uygun kesirli güç ile,tam j-değişmezlerdir.Yanı sıra derecesi 6 cebirsel sayılar için

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000000010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000000000061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000000000000000034\dots \end{aligned}}}$

burada xın altıncı denklemin yaklaşık kökleri ile sırasıyla verilir,

${\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}$

ile j-değişmezi tekrar görünüyor. Bu sextics sadece cebirsel değildir,bu are ayrıca köklerin içinde çözülebilen factor olarak ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$ uzantıları üzerinde içine iki kübikller (ile ilk çarpım daha fazla içine iki kuadratikler). Bu cebrik yaklaşıklıklar Dedekind eta katsayılarının terimleri içinde tam gösterilebilir. As bir örnek olarak, diyelimki ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$, ise,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.00000000000000105\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.00000000000000021\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000000000000000034\dots \end{aligned}}}$

burada eta katsayıları yukarıda verilen cebrik katsayılardır.

Ardışık asallar

verilen tek asal p, eğer hesaplar ${\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}}$ için ${\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2}$ (bu yeterlidir çünkü ${\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}}$), bir ardışık kompozit alır, ardışık asal sayıların ardından, if and only if p bir Heegner sayısıdır.^[13]

Ayrıntılar için, bkz "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" by Richard Mollin.

Notlar ve kaynakça

1. Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. s. 224. ISBN 0-387-97993-X. 
2. Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
3. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
4. Eric W. Weisstein, Transcendental Number (MathWorld) math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math> ile tabanı üzerinde ile verilir. Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
5. Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld
6. Barrow, John D (2002). The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6. 
7. Gardner, Martin (April 1975). "Mathematical Games". Scientific American (Scientific American, Inc) 232 (4): 127. 
8. These can be checked by computing ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}$ on a calculator, and ${\displaystyle 196884/e^{\pi {\sqrt {d}}}}$ for the linear term of the error.
9. http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#
10. The absolute deviation of a random real number (picked uniformly from Şablon:Closed-closed, say) is a uniformly distributed variable on Şablon:Closed-closed, so it has medyan mutlak sapma ve 0.25'in medyan mutlak sapması var , ve 0.22 bir sapma olağanüstü değil.
11. "Pi Formulas". 12 Mart 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20140312234150/https://sites.google.com/site/tpiezas/001. 
12. "Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients". 12 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20150912023843/https://sites.google.com/site/tpiezas/ramanujan. 
13. http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Heegner Number (MathWorld)
• "Sloane's A003173 : Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
• Clark, Alex. "163 and Ramanujan Constant". Numberphile. Brady Haran. 12 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20150912220926/http://www.numberphile.com/videos/163.html.