Helmholtz denklemi

Düzlemde radyasyonun iki kaynağı, matematiksel bir ƒ fonksiyonu ile veriliyor burada mavi bölge sifirdir.

gerçel kisim Ada sonlaniyor, Homojen olmayan Helmholtz denklemi ${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=-f.}$

nin çözümü "A" dir.

Matematikte, Helmholtz denklemi ismi Hermann von Helmholtz,anisinadir kismi differensiyel denklemdir

${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=0}$

Burada ∇² Laplasyendir, k dalga nosu, ve A genliğidir.

Hermann von Helmholtz'un ardından adlandirilan Helmholtz denklemi veya indirgenmiş dalga denklemi

${\displaystyle \nabla ^{2}u(x)+k^{2}(x)u(x)=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}}$

biciminde tanimli 2. dereceden bir eliptik kismi türevli diferansiyel denklemdir. Burada ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (${\displaystyle \Delta }$ biciminde de gosterilir) Laplasyen operatörünü, ${\displaystyle k(x)}$ ortamın dalga sayısını ve ${\displaystyle u(x)}$ dalga davranışı gösteren bilinmeyen fonksiyonu göstermektedir.

Alıştırma ve kullanım

Helmholtz denklemi siklikla kismi diferansiyel denklemler (PDEs) uzay ve zamanın her ikisinde de fiziksel problemlerde karsimiza çikar. Helmholtz denklemi denen bu 'dalga denkleminin zaman-bagimsiz formunun gösterimi, sonuç olarak degiskenlerin ayrismasinin teknik uygulamasından analizin karmaşıkliginin indirgenmesi amaçlanir

Örnegin, dalga denklemi olarak

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$

elde edilir Dalga fonksiyonu u(r, t) degiskenlerinin ayrımı varsayımı ile çarpanlara ayrılır:

${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}$

dalga denkleminde bu form yerine konur , ve sadeleştirilirse, asagidaki denklem elde edilir:

${\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.}$

Sol tarafı yalnızca r ye bagli zaman-bagimsiz denir , burada sag taraftaki baginti yalnızca t ye baglidir sonuç olarak, bu denklemin genel durum içinde denklemin her iki tarafı bir sabit degere esittir. Bu gözlemden, iki denklem elde edilebilir, biri A(r), digeri T(t):

${\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}}$

ve

${\displaystyle {1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}}$

Buradaki seçim, genelin disinda,−k² bagintisi için sabit degerdir. (Bu i herhangi sabit k ya esit deger sabitlerin ayrismasi olarak; −k² geleneksel seçimdir.)

ilk denkleme uyarlayarak, Helmholtz denklemini elde ederiz:

${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$

Yine, sonraki yerine konarak

${\displaystyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc}$

ikinci denklem

${\displaystyle {\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,}$

Burada k dalga vektörüdür ve ω açısal frekanstir.

Bizim simdi Helmholtz's denklemimiz var uzaysal degisken r ve zamanda bir ikinci-derece adi diferensiyel denklemdir.Zaman içinde sin ve cos fonksiyonlarının , ω ' nin açısal frekansi ile dogrusal bileşimi iken , uzaydaki çözüm formu sinir durum bagimli olacaktır. Alternatifleri, Laplace veya Fourier dönüşümü gibi integral dönüşümlerdir , Helmholtz denkleminin bir formu içinde hiperbolik PDE bir dönüşümü siklikla kullanılıyor .

Bi dalga denklemlerinin iliskililigi nedeniyle, the Helmholtz denklemi fizik alanlarinin dalga problemlerinin elektromanyetik radyasyon, sismoloji ve akustik alanlarinda kullanilir.

Homojen olmayan Helmholtz denklemi

${\displaystyle \nabla ^{2}u(x)+k^{2}(x)u(x)=-f(y),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Bu durumda denklem fiziksel acidan u(.) alaninin f(.) kaynak dagilimi tarafindan yaratildigi biciminde yorumlanir.

Uygulama alanları

Helmholtz denklemi zamanla harmonik degisim gosteren elektromagnetik veya akustik dalgalarla uyarılmış ortamlardaki alan dagılımını modellemek için kullanılır.

Notlar

Ayrica bakınız

• Laplace denklemi Helmholtz denkleminin özel bir durumudur

Kaynakça

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, ed. (1964). Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4. 

• Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2002). "Chapter 19". Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89067-5. 

• Riley, K. F. (2002). "Chapter 16". Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-24-6. 

• Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl (1991). "Chapter 3". Fundamentals of Photonics. Wiley Series in Pure and Applied Optics. New York: John Wiley & Sons. s. 80–107. ISBN 0-471-83965-5. 

• Sommerfeld, Arnold (1949). "Chapter 16". Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press. ISBN 0126546568. 

• Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63320-6. 

Dis baglantilar

• Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Helmholtz equation", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/h046920.htm 
• Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
• Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain