Kütle akış hızı

Fizik ve mühendislikte, kütle akış hızı, bir maddenin geçtiği belirli bir yüzeyden birim zamana geçen kütle miktarıdır. SI'daki birimi, kilogram bölü saniyedir. Yaygın kullanılan sembolü ${\displaystyle {\dot {m}}}$ ("m üssü nokta" olarak telaffuz edilir) olmasına rağmen bazen (Yunanca mi'nin küçük halfi olan) μ kullanılır.

Kütle akış hızı bazen, örneğin akışkanlar mekaniğinde kütle akısı veya kütle akımı olarak adlandırılır.

Matematiksel ifadesi

Kütle akış hızı bir fonksiyonun limiti ile ifade edilir:

${\displaystyle {\dot {m}}=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}}$

Örneğin, m kütlesinin bir yüzeyden t birim zamandaki akışıdır.

m üssü nokta, bir zaman türevin Newton gösterimidir. Kütle skaler bir nicelik olduğundan dolayı, kütle akış hızı (kütlenin zamana bağlı türevi) de skaler bir niceliktir. Kütledeki değişim, belirli bir süre içinde yüzeyden aktıktan sonraki miktarıdır, yalnızca başlangıç miktarı değildir.

Alternatif denklemler

Kütle akış hızı şöyle de hesaplanabilir:

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho {\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {A}}=\rho Q={\mathbf {j}}_{\rm {m}}\cdot {\mathbf {A}}\operatorname {arccot} \operatorname {arcsec} \operatorname {argch} \operatorname {argch} \operatorname {ch} \operatorname {argch} \cosh }$

Burada:

• ρ = akışkanın kütle yoğunluğu,
• v = Akan kütlenin akış hızı,
• A = Kesit vektör alanı/yüzey,
• Q = Debi,
• j_m = kütle akısı.

Yukarıdaki denklem yalnız düz bir düzlem alanında doğrudur. Alan eğimli ise denklem genellikle bir yüzey integrali ile ifade edilir:

${\displaystyle {\dot {m}}=\iint _{A}\rho {\mathbf {v}}\cdot {\rm {d}}{\mathbf {A}}=\iint _{A}{\mathbf {j}}_{\rm {m}}\cdot {\rm {d}}{\mathbf {A}}}$

Kütle akış hızını hesaplamak için gereken alan, gerçel veya sanal olabilir, düz veya eğimli olabildiği gibi kesit alanı veya bir yüzey olabilir. Örneğin, bir yapay membrandan geçen cisim için gerçel yüzey (genellikle eğimli), makroskobik ölçeklidir ve membrandaki delikler göz ardı edilir. Vektör alanı, kütlenin geçtiği A alanı ve birim vektör ${\displaystyle {\mathbf {\hat {n}}}}$ normal alanı arasında ilişkilidir ve şöyle ifade edilir ${\displaystyle {\mathbf {A}}=A{\mathbf {\hat {n}}}}$.

Yalnızca kesit alandan akan kütle miktarı:

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho vA\cos \theta }$

Burada θ, birim vektör normal alanı ${\displaystyle {\mathbf {\hat {n}}}}$ ile kütlenin hızı arasındaki açıdır. Kesitten geçen kütle miktarı ${\displaystyle \cos \theta }$ faktörü ile azaltılır. θ artarsa daha az kütle geçer. Tüm kütle tanjant yönlerinde alandan geçerse, bu birim normal ile dik olur. Böylece alandan geçen kütle miktarı sıfırdır. Bu da θ = π/2 olduğunu gösterir:

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho vA\cos(\pi /2)=0}$

Bu sonuçlar denklemdeki noktanın nasıl elde edildiğini gösteriyor. Bu denklemler bazen kütle akış hızını ifade etmek için kullanılır.

Kullanımı

Akışkanlar dinamiğinde kütle için süreklilik denkleminin ikincil biçimi şöyledir:^[1]

${\displaystyle \rho _{1}{\mathbf {v}}_{1}\cdot {\mathbf {A}}_{1}=\rho _{2}{\mathbf {v}}_{2}\cdot {\mathbf {A}}_{2}}$

Klasik mekanikte, bir roketin yakıt tüketerek kütlesinin değişmesi gibi değişken kütleli cisimden söz edildiğinde kütle akış hızı ile karşılaşılır. Çoğu cismin hızını açıklarken yanlışlıkla^[2] Newton ikinci yasası F =d(mv)/dt ten bahsedilir. Burada hem m kütlesi hem de v hızı zamana bağlıdır ve türev kuralı uygulanır. Newton'un ikinci yasasının bir cisim için doğru olanı sabit kütleli cisim için geçerli olmasıdır.^[2]

Analog nicelikler

Akışkanlar dinamiğinde kütle akış hızı, kütlenin akış hızıdır. Elektrikte, yük akış hızı elektrik akımıdır.

Ayrıca bakınız

• Süreklilik denklemi
• Akışkanlar dinamiği
• Kütle akış denetleyicisi
• Kütle akış ölçer
• Kütle akısı
• Termal kütle akış ölçer
• Debi

Kaynaklar

1. Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
2. Halliday; Resnick. Physics. 1. s. 199. ISBN 0-471-03710-9. "It is important to note that we cannot derive a general expression for Newton's second law for variable mass systems by treating the mass in F = dP/dt = d(Mv) as a variable. [...] We can use F = dP/dt to analyze variable mass systems only if we apply it to an entire system of constant mass having parts among which there is an interchange of mass."  [Emphasis as in the original]