Kısmi türev

Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin(fonksiyon), sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Tanım

${\displaystyle z:{{\mathbb {R} }^{n}}\times {{\mathbb {R} }^{n}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}$

biçiminde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı sürekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki ${\displaystyle \Delta {{x}_{m}}}$ değişimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

${\displaystyle {\frac {\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}}={\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}}}$

${\displaystyle \Delta {{x}_{m}}=h}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim }}}\,{\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}}}$

ifadesine ${\displaystyle z}$ fonksiyonunun ${\displaystyle {{x}_{m}}}$ değişkenine göre kısmi türevi denir.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {{x}_{m}}}}={{f}_{{x}_{m}}}={{D}_{{x}_{m}}}f={\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={{z}_{{x}_{m}}}}$

şeklinde gösterilir.

${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ ise;

${\displaystyle {{f}_{x}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim }}}\,{\frac {f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}$

${\displaystyle {{f}_{y}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim }}}\,{\frac {f\left(x,y+h\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}$

Örnek:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}{y}-{{y}^{3}}\\&{{f}_{x}}={{\left({{x}^{3}}\right)}_{x}}+{{\left({{x}^{2}}y\right)}_{x}}-{{\left({{y}^{3}}\right)}_{x}}\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy\\\end{aligned}}}$