Lie süpercebiri

matematik'te, bir Lie supercebri bir Lie cebri genelleştirilmesi Z₂-sınıflandırma içerir. Lie supercebri teorik fizik'te önemlidir.süpersimetri'nin matematiği kavramında kullanılıyor. Bu teorilerin çoğunda, supercebirin çift ögesi bozon'a ve tek ögesi fermiyon'a (ama bu her zaman doğru değildir; örneğin,BRST süpersimetride tersidir)karşılık gelmektedir

Tanım

biçimsel olarak,bir Lie süpercebri bir (birleşmeli olmayan) Z₂-kademeli cebridir, veya,değişmeli halka üzerinde bir süpercebir(tipik olanı R veya C) olan çarpım [·, ·], Lie süperbraket veya süperdeğişmeli olarak adlandırılır, iki koşulu karşılayan (olağan analoglarının Lie cebri aksiyomları, ile kademeli):

Süper çarpık-simetri:

$[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x].\$

süper Jacobi özdeşliği:

$[x,[y,z]]=[[x,y],z]+(-1)^{|x| |y|}[y,[x,z]]\$

burada x, y, ve z saf Z₂-seviyesi içindedir.Burada , |x| ifadesi x ın derecesi (ya da 0 veya 1). derecesi [x,y]'nin derecesi,x ve y modulo 2'nin derecelerinin toplamıdır.

sahip oldukları teorem için gerekli koşullar $[x,x]=0$ için |x|=0 (eğer 2 tersi ise bu otomatik olarak aşağıdakidir) ve $[[x,x],x]=0$ için |x|=1 (eğer 3 tersi ise bu otomatik olarak aşağıdakidir).Zemin halka tamsayılar veya Lie süpercebri bir serbest modüldür, Bu koşullar durumunda Poincaré-Birkhoff-Witt Teoremi'ne eşdeğerdir(ve, genel olarak, bunlar sahip olmak için teoreme gerekli olan koşullar).

sadece Lie cebri için,Lie süpercebrinin Evrensel zarflama cebiri bir Hopf cebri yapısı verebilir.

Derecelendirilmiş Lie cebrinde ayırım

Bir derecelendirilmiş Lie cebri (söylenişi, Z veya N ile derecelendirme) bu derecelendirme içinde karşıt-değişmeli ve Jacobi anlamda bir $Z_2$ derecelendirme vardır (çift ve tek parçaları içinde cebrik "yuvarlama" denir ), ama "süper" olarak anılmaz. Bkz. dikkat;dereceli Lie cebri ders için.

Tek ve çift parça

Burda çift altcebir yani bir Lie süpercebir formunun çift altcebrinde bir (normal) Lie cebrinin bütün işaretleri yoktur ve süperbraket bir normal Lie brakete uymaz,bu gözden kaçırılmamalıdır

Bir Lie supercebri hakkında düşünülecek tek çift ve tek parçalarının, L₀ and L₁ ayrı ayrı dikkate almaktır. Eğer, L₀ bir Lie cebri, L₁ dir L₀,ın bir lineer gösterim'i ve burada bir simetrik L₀-eşdeğer lineer haritalama varsa $\{\cdot,\cdot\}:L_1\otimes L_1\rightarrow L_0$ öyleki L₁'deki bütün x,y ve için

$\left\{x, y\right\}[z]+\left\{y, z\right\}[x]+\left\{z, x\right\}[y]=0.$

İçe dönme

Bir ^* Lie supercebri bir karmaşık Lie supercebri içedönük doğrusal olmayan haritalama ile kendisinden kendisine Z₂ nin sıralamasının dereceleme ve uygunluğu ile donatılmıştır [x,y]^*=[y^*,x^*] Lie supercebri içindeki tüm x ve y için. (Bazı yazarlar [x,y]^*=(−1)^|x||y|[y^*,x^*] tercihi için hemfikirdirler; * −* a değişim iki anlaşma arasında anahtardır.) Bu evrensel zarf cebri bir olağan^*-cebridir.

Sınıflandırma

sade karmaşık sonlu boyutlu Lie supercebri Victor Kac tarafından sınıflandırılmıştı.

Temel klasik tıkız Lie supercebri (bu Lie cebri değil) şudur:

SU(m/n) burada süperbirim Lie cebri değişmezleri:

$z.\overline{z}+iw.\overline{w}$

Bu iki ortosimplektik (bkz. aşağıda) değişmezleri verip,eğer mz değişkenleri alırsak ve nw değişkenleri olmayan değişmeli olmayan ve gerçek ve sanal kısımları alır. Bu nedenle şu var

$SU(m/n)=OSp(2m/2n)\cap OSp(2n/2m)$

SU(n/n)/U(1)Biz cebir basit yapmak için bir U(1) jeneratörünü kaldırmak superbirimli Lie cebirlerinin özel bir durumudur.

OSp(m/2n) Bu ortosimplektik gruplardır.Bunlar tarafından verilen değişmezler var:

$x.x+y.z-z.y$

m değişmeli değişkeni (x) ve karşıt-değişmeli değişkeni(y,z)'nin birçift n'i içindir .Bu superçekim teorisi içinde önemli bir simetridir.

D(2/1;$\alpha$) Bu $\alpha$değişkenleri tarafından parametrize supercebrin bir kümesidir.17 boyutludur ve OSp(9|8)nin bir alt cebridir. gurubun birkaç kısmıO(3)xO(3)xO(3) dır.Bu yüzden aşağıdaki değişmezleri vardır:

$A_\mu A_\mu+B_\mu B_\mu+C_\mu C_\mu +\psi^{\alpha \beta \gamma}\psi^{\alpha' \beta' \gamma'}\varepsilon_{\alpha \alpha'}\varepsilon_{\beta \beta'}\varepsilon_{\gamma \gamma'}$

$A_{\{1} A_2 A_{3\}} + B_{\{1} B_2 B_{3\}} + C_{\{1} C_2 C_{3\}} + A_\mu \Gamma^{\alpha \alpha'}_\mu \psi\psi + B_\mu \Gamma^{\beta \beta'}_\mu \psi\psi + C_\mu \Gamma^{\gamma \gamma'}_\mu \psi\psi$

belirli bir sabit için $\gamma$.

F(4) OSp(24|16)'un bu olağanüstü Lie superalcebrinin boyutu 40 ve bir alt cebirdir. Grubun birkaç bölümü O(3)xSO(7) olur, böylece üç değişmezleri şudur:

$B_{\mu \nu} + B_{\nu \mu} = 0$

$A_\mu A_\mu + B_{\mu \nu}B_{\mu \nu} + \psi_{\{1}^\alpha \psi_{2\}}^\alpha$

$A_{\{1} A_2 A_{3\}} + B_{\{\mu \nu} B_{\nu \tau} B_{\tau \mu\}} + B_{\mu \nu} \sigma_{\mu \nu}^{\alpha \beta} \psi^\alpha_k \psi^\beta_k + A_\mu \Gamma_\mu^{\alpha \beta} \psi^k_\alpha \psi^k_\beta + (sym.)$

Bu grup iki bileşenli oktonyon spinörleri olarak 16 bileşeni spinörleri dikkate alınarak oktonyon ile ilgilidir.Ve gamma matrisler birimi oktonyon olarak üst endeksleri etkiler

Dahası var $f^{\mu \nu \tau}\sigma_{\nu \tau} \equiv \gamma_{\mu}$ burada f oktonyon çarpma yapısı sabittir .

G(3) Bu olağanüstü Lie supercebri 31 boyutu olan ve bir alt cebiridir OSp(17|14). Grubun birkaç bölümü O(3)xG2 dir. ilk sabit yani değişmezler yukarıdakine benzer:

$A_\mu A_\mu + C^{\mu}_\alpha C^{\mu}_\alpha + \psi_{\{1}^\mu \psi_{2\}}^\nu$

burada da adlandırılan iki tanesi tuhaf serisi olarak adlandırılan p(n) ve q(n).

Sonsuz Boyutlu Basit Lineer Kompakt Lie Supercebri sınıflandırılması

10 serinin uygun sınıflandırması W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m+1, n), HO(m,m) (m ≥ 2), SHO(m,m) (m ≥ 3), KO(m,m + 1), SKO(m,m + 1; β) (m ≥ 2), SHO∼(2m,2m), SKO∼(2m+1,2m + 3) ve 5 olağanüstü cebiri:

E(1,6), E(5,10), E(4,4), E(3,6), E(3,8)

Bunların standart model ölçü grubu var çünkü son iki (Kac'a göre) özellikle ilginçSU(3)xSU(2)xU(1) kendi sıfır düzeyi cebri gibi. Sonsuz boyutlu (afin) Lie supercebri önemli bir simetrisi olan süpersicim teorisi'dir

Kategori-teorik tanım

kategori teorisi içinde, bir Lie süpercebri ilişkisel olmayan süpercebir olarak tanımlanabilir aşağıdaki çarpımları karşılar

• $[\cdot,\cdot]\circ (id+\tau_{A,A})=0$
• $[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes id)\circ(id+\sigma+\sigma^2)=0$

where σ is the cyclic permutation braiding $(id\otimes\tau_{A,A})\circ(\tau_{A,A}\otimes id)$. In diagrammatic form:

Ayrıca bakınız

• Anyonik Lie cebiri
• Grassmann cebri
• Bir Lie süpercebrinin gösterimi
• Süperuzay
• Süpergrup

Kaynakça

• Kac, V. G. Lie superalgebras. Advances in Math. 26 (1977), no. 1, 8--96.
• Manin, Yuri I. Gauge field theory and complex geometry. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 289. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61378-1
• Pavel Grozman, Dimitry Leites and Irina Shchepochkina. "LIE SUPERALGEBRAS OF STRING THEORIES"

Dış bağlantılar

• Irving Kaplansky + Lie Superalgebras