Morera teoremi

Eğer her C boyunca sıfırsa, o zaman f, D üzerinde holomorftur.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için önemli bir ölçüttür.

Morera teoremi, karmaşık düzlem üzerindeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, sürekli, karmaşık değerli ve D içindeki her kapalı C eğrisi için

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=0}$

ifadesini sağlayan bir f fonksiyonunun D üzerinde holomorf olması gerektiğini ifade eder. Morera teoreminin varsayımı, f 'nin D üzerinde terstürevi olduğuna denktir.

Teoremin tersi genel anlamda doğru değildir. Holomorf bir fonksiyon, ek varsayımlar konulmadıkça, tanım kümesi üzerinde terstüreve sahip olmak zorunda değildir. Örneğin, Cauchy integral teoremi, holomorf bir fonksiyonun kapalı bir eğri üzerindeki çizgi integralinin ancak fonksiyonun tanım kümesinin basit bağlantılı olması durumunda sıfır olacağını ifade eder.

Kanıt

a 'dan b 'ye iki yol boyunca integraller eşittir çünkü farkları kapalı bir döngü boyunca integraldir.

Görece olarak teoremin basit bir kanıtı vardır. f için açıkça bir terstürev oluşturulur. Ondan sonra teorem, holomorf fonksiyonlar analitiktir gerçeğinden yola çıkılarak kanıtlanır.

Genellemeyi kaybetmeden, D 'nin bağlantılı olduğu varsayılabilir. D içinde bir a noktası sabitlensin ve D üzerinde aşağıdaki gibi karmaşık değerli bir F fonksiyonu tanımlansın:

${\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(z)\,dz.\,}$

Yukarıdaki integral, D içinde a 'dan b 'ye herhangi bir yol üzerinden alınabilir. Burada F fonksiyonu iyi tanımlıdır çünkü hipotez gereği f 'nin a 'dan b 'ye giden herhangi iki eğri boyunca integrali eşittir. Hesabın temel teoremi sayesinde F 'nin türevinin f olduğu görülür:

${\displaystyle F'(z)=f(z).\,}$

Özellikle, F holomorftur. O zaman f de holomorf bir fonksiyonun türevi olduğu için holomorftur.

Uygulamalar

Morera teoremi karmaşık analizde standart bir araçtır. Bir holomorf fonksiyon cebirsel olmayan bir yolla oluşturulacaksa, hemen hemen tüm argümanlarda Morera teoremi kullanılır.

Düzgün limitler

Örneğin, f₁, f₂, ... açık bir küme üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsayan bir holomorf fonksiyon dizisi olsun. Cauchy integral teoreminden her n için ve disk içinde kapalı her C eğrisi için

${\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

ifadesinin doğru olduğu görülür. Düzügün yakınsaklık sayesinde de her kapalı C eğrisi için

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\lim _{n\rightarrow \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

ifadesinin doğruluğu biliniyor. Bu yüzden, Morera teoreminden dolayı f holomorf olmalıdır. Bu gerçek, aynı zamanda, herhangi açık bir Ω ⊆ C kümesi için, u : Ω → C şeklinde tanımlanan sınırlı ve analitik tüm fonksiyonların kümesi A(Ω)'nın supremum norm'a göre bir Banach uzayı olduğunu göstermek için de kullanılabilir.

Sonsuz toplamlar ve integraller

Morera teoremi ayrıca Riemann zeta fonksiyonu

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

veya gama fonksiyonu

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$

gibi toplamlar ve integraller yoluyla tanımlanmış fonksiyonların analitikliğini göstermek için de kullanılabilir.

Hipotezlerin zayıflatılması

Morera teoreminin hipotezleri epeyce zayıflatılabilir. Özellikle, D bölgesi içindeki her kapalı T üçgeni için

${\displaystyle \oint _{\partial T}f(z)\,dz}$

integralinin sıfır olması yeterlidir. Bu aslında, holomorfiyi ayırıcı bir niteliğe sokar, yani f ancak ve ancak yukarıdaki koşullar sağlanırsa holomorftur.

Kaynakça

• Ahlfors, Lars (1 Ocak, 1979), Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577 
• Conway, John B. (1 Nisan, 2001), Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284 
• G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (2) 19 (1886) 304–307
• Rudin, Walter (1 Mayıs, 1986), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341 

Dış bağlantılar

• MathWorld'deki Morera Teoremi bilgisi
• John H. Mathews'ün Morera Teoremi için yaptığı modül
• EoM makalesi