Okamoto-Uchiyama Kriptosistemi

Okamoto–Uchiyama kriptosistemi, 1998'de T. Okamoto ve S. Uchiyama tarafından bulundu. Sistem ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ kümesinde çalışır, n p²q ya eşittir ve p ve q büyük asal sayılardır.

Sistemin tanımı

Çoğu açık anahtarlı kriptosistemler gibi, bu sistemde ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ kümesinde çalışır. Bu kriptosistemin temel farkı n in p²q ya eşit olması, bu p ve q sayılarının büyük asal sayı olmalarıdır. Bu sistem homomorfik ve bununla birlikte kolay biçimlendirilebilirdir.

Homomorfik, iki tane şifreli sayının toplamının iki sayının ayrı ayrı elde edilmesine gerek kalmadan deşifre edilebilmesinin sağlanmasıdır.

Anahtar oluşturma

Bir açık/gizli anahtar çifti aşağıdaki gibi oluşturulur:

• p ve q olarak iki büyük asal sayı bulunur ve ${\displaystyle n=p^{2}q}$ denkleminde n hesaplanır.
• Öyle bir sayı olsun ki ${\displaystyle g\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ bu denklem sağlanabilsin ${\displaystyle g^{p}\neq 1\mod p^{2}}$.
• Son olarak h = gⁿ mod n hesaplanır.

Bu şekilde açık anahtarımızı (n, g, h) ve gizli anahtarımızı (p, q) çarpanları olarak elde ediyoruz.

Mesajı şifrelemek

m mesajını şifrelemek için, m ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ de bir öğe olarak alınır.

• Rasgele bir ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ seçin. Denklemi hesaplayın.

${\displaystyle C=g^{m}h^{r}\mod n}$

Mesajı deşifrelemek

Fonksiyonumuz bu olsun;

${\displaystyle L(x)={\frac {x-1}{p}}}$,

deşifrelemek için gereken fonksiyon;

${\displaystyle m={\frac {L\left(C^{p-1}\mod p^{2}\right)}{L\left(g^{p-1}\mod p^{2}\right)}}\mod n}$

Güvenlik

Bütün mesajın güvenliği n'in asal çarpanlarına ayrılmasına bağlıdır.

Kaynakça

• Okamoto-Uchiyama cryptosystem
• Okamoto, Tatsuaki; Uchiyama, Shigenori (1998). "A new public-key cryptosystem as secure as factoring". Advances in Cryptology — EUROCRYPT'98. Lecture Notes in Computer Science. 1403. Springer. s. 308–318. DOI:10.1007/BFb0054135.