Pürüzsüz çokkatlı

Pürüzsüz (gıcır) çokkatlı, türevli topolojide bir çeşit topolojik çokkatlı. Tanımı sayesinde, üzerinde türev alınabilir bir uzaydır. Örneğin türev ve integralin ilk tanımlandığı gerçel sayılar kümesi (${\displaystyle \mathbb {R} }$), 1 boyutlu pürüzsüz bir çokkatlıdır.

Matematiksel tanım

M topolojik bir çokkatlı olsun. Tanımı gereği, M'nin herhangi bir x noktasını içeren öyle bir açık komşuluk (U) bulunabilir ki bu komşuluk ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'nin açık bir altkümesine (V) topolojik eşyapısaldır (homeomorfik). Bu eşyapıyı ${\displaystyle \phi _{UV}}$ olarak gösterelim, yani ${\displaystyle \phi _{UV}:U\rightarrow V}$. Bir yandan x noktasını içeren başka bir komşuluk U' için ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'de eşyapısal açık küme V' olsun. Karşılık gelen eşyapıysa ${\displaystyle \phi _{U'V'}}$ olsun. ${\displaystyle \phi _{U'V'}\circ \phi _{UV}^{-1}:V\rightarrow V'}$ geçiş gönderimi, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'de V kümesinden V' kümesine bir eşyapıdır. Eğer bu geçiş gönderimi V ile V' arasında bir türevli eşyapıysa (difeomorfizma) yani hem kendisi hem de tersi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'e birer gönderim olarak türevlenebilirse, üstüne üstlük bu koşul olası tüm x noktaları ve U, U', V, V' açık kümeleri için doğruysa, M çokkatlısına türevlenebilir çokkatlı denir. Bu durumda tüm ${\displaystyle (U,\phi _{UV})}$ ikililerinin topluluğuna türevlenebilir atlas denir.

M'nin tüm geçiş gönderimleri sonsuz kez türevlenebilir ise (pürüzsüzse), M çokkatlısına pürüzsüz çokkatlı denir. Karşılık gelen tüm ${\displaystyle (U,\phi _{UV})}$ topluluğuna pürüzsüz atlas denir.

Tuhaf çokkatlılar

Her pürüzsüz çokkatlı, topolojik bir çokkatlıdır. Tersi sorulabilir: verilen bir topolojik çokkatlıyı türevlenebilir ya da pürüzsüz yapacak bir atlas bulunabilir mi? Bunun yanıtı 1, 2 ve 3 boyutlu çokkatlılar için olumludur, yani n 4'ten küçük olmak üzere her n boyutlu çokkatlı türevlenebilir bir çokkatlıdır. Üstelik bu çokkatlıya konabilecek tüm türevlenebilir yapılar birbirlerine difeomorfiktir. n 4'ten büyükken bu doğru değildir: öyle çokkatlılar vardır ki üzerlerine hiçbir türevlenebilir atlas konulamaz. Öte yandan öyle çokkatlılar vardır ki üzerlerine birden çok türevlenebilir atlas konulabilir ve bu türevlenebilir çokkatlılar birbirlerine topolojik eşyapısal olmasına karşın difeomorfik değildir. Örneğin, John Milnor 1956 yılında 7 boyutlu küre (${\displaystyle S^{7}}$) üzerine birbirinden farklı 28 türevlenebilir yapı konulabileceğini göstermiştir. ^[1] Türevli topolojide bu tür kürelere tuhaf (egzotik) küre denir.

Notlar

1. Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963), "Groups of homotopy spheres: I", Annals of Mathematics 77 (3): 504–537 

Kaynaklar

• Milnor, John W. (1965). Topology from the differentiable viewpoint. Princeton, NJ: 1965 orijinalinin 1997'de yeniden basımı. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press.. ISBN 0-691-04833-9. 
• R. Abraham, J. E. Marsden, ve T. S. Ratiu (1988). Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer-Verlag. 
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.