Poisson denklemi

Matematikte,Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon-Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. Poisson denklemi

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

Burada ${\displaystyle \Delta }$ Laplasyene, ve f ve φ ise Çokkatlıda gerçek veya Karmaşık-değerli fonksiyonlara karşılık gelmektedir. Çokkatlı öklit uzayı olduğu zaman, Laplasyen ${\displaystyle {\nabla }^{2}}$ olarak belirtilir ve Poisson denklemi genel olarak

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f.}$

şeklinde yazılır. 3 boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

formunu alır. f sıfır olduğunda denklem;

${\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}$

halini alır. Bu poisson denklemi Green fonksiyonu kullanılarak çözülebilir; Green Fonksiyonunun Poisson denklemi için genel çözümünü Sönümlü Poisson denklemi başlığında verilmiştir. Numerik çözüm için çok fazla değişik türden method bulunmaktadır; rahatlatma metodu, yinelemeli algoritma sadece bir örnek...

Elektrostatik

Elektrostatiğin köşe taşlarından biri de Poisson denklemleri ile açıklanan problemlerin çözümünü ortaya atıp çözmektir . Verilmiş bir yük dağılımı için Elektriksel gerilimi bulmak için genelde kullandığımız yol bu olduğu için, φ'ı verilmiş f cinsinden bulmak önemli pratik bir sorundur.

Elektrostatikteki Poisson denkleminin türeyişi şu şekildedir. Uluslararası Birimler Sisteminin öklit uzayında kullanıldığını varsayarsak. Differansiyel kontrol hacimdeki elektrik için Gauss Yasası ile başlarsak:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$, Diverjansa

${\displaystyle \mathbf {D} }$, elektrik deplasman alanına

${\displaystyle \rho _{f}\,}$ serbest yükün yük yoğunluğuna (yani dışardan getirilmiş yüklere) tekamül etmektedir.

Ortamın lineer, izotropik, ve homojen olduğunu kabul edersek;

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \varepsilon }$ permittivity of the medium.

${\displaystyle \mathbf {E} }$ is the electric field.

Yerine koyma ve sadeleştirme işlemlerinden sonra;

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}}$

elde ederiz. Değişken bir manyetik alan, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ olmadığı zaman, Faraday-Lenz yasası gereğince,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0}$

${\displaystyle \nabla \times }$,Rotasyonele

${\displaystyle t}$ zamana karşılık gelmektedir.

Elektrik Alanın Rotasyaneli sıfır olduğundan,o bir skaler elektrik potansiyel birler elektrik potansiyel olarak tanımlanır.

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$

${\displaystyle \mathbf {E} }$ yi yerine koyma metodu ile yok edersek, Poisson denkleminin bir formunu elde ederiz:

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \varphi ={\nabla }^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$

Potansiyel için Poisson denklemini çözmek yük yoğunluğu dağılımının bilinmesini gerektirir. Eğer yük yoğunluğu sıfır ise denklem Laplace denklemine dönüşür. Eğerki yük yoğunuğu Boltzmann dağılımına tekamül ederse denklem Poisson-Boltzman denklemi halini alır. Poisson Boltzmann denklemi Debye-Hückel denkleminin gelişmesinde büyük rol oynar.

(Not: Yukardaki tartışma manyetik alanın zamanla değişmediğini kabullenim olarak alsa da aynı Coulomb ölçümlemesi kullanıldığı sürece zamanla gerçekten bir değişim olsa bile Poisson denklemi ortaya çıkar. Yalnız, genel bağlamda ${\displaystyle \varphi }$ hesaplamak artık ${\displaystyle \mathbf {E} }$ yi hesaplamak için yeterli değildir, çünkü ikincisi aynı zamanda manyetik vektör potansiyeline bağlıdır, ki bu da bağımsız olarak hesaplanmalıdır.)

Gauss yük yoğunluğunun potansiyeli

Eğerki durgun küresel simetrik bir Gauss yük yoğunluğu ${\displaystyle \rho _{f}(r)}$ var ise:

${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

burada Q toplam yüktür. Dolayısıyla Poisson denkleminin çözümü φ (r),

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon }}$,

burada ${\displaystyle \varphi (r)}$ şöyle gösterilir;

${\displaystyle \varphi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon }{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

ki burada erf(x) hata fonksiyonuna tekamül etmektedir. Bu çözüm bariz bir biçimde ${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi }$yi hesaplayarak kontrol edilebilir. Dikkate alınmalı ki, tahmin edildiği şekilde σ den çok büyük bir r için erf fonksiyonu 1e ve potansiyel noktasal yük potansiyeli φ (r), ${\displaystyle {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}}$ e yaklaşmaktadır. Ayrıyetten, erf fonksiyonu kendi argümanı arttıkça 1 e çok hızlı şekilde yaklaşmaktadır; pratikte r > 3σ için göreli hata binde birden küçüktür.

Ayrıca bakınız

• Discrete Poisson equation
• Poisson–Boltzmann equation
• Uniqueness theorem for Poisson's equation

Kaynakça

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Dış bağlantılar

• Poisson's equation on PlanetMath.
• Poisson's Equation for a Point Source in the COMSOL Multiphysics model gallery.