Schrödinger gösterimi

Schrödinger gösterimleri. Fizikte, Schrödinger gösterimi kuantum mekaniğinin bir formülasyonudur öyle ki durum vektörleri zaman içinde değisir, ancak operatörler (gözlemlenebilirler ve diğerleri) zamana göre sabit kalır. Bu Heisenberg gösteriminden ve etkileşim tasfirden farklıdır çünkü Heisenberg gösteriminde durum vektörleri zaman içinde durumlarını sabit tutarken gözlemlenebilir operatörler değişir ve etkileşim tasfirinde durum vektörleri ve gözlenebilir operatörlerin ikisi de zaman içinde değişir. Schrödinger ve Heisenberg gösterimleri aktif ve pasif dönüşümler gibi birbirleriyle ilişkilidir ve aynı ölçüm istatistiklerine sahiptirler.

Schrödinger gösteriminde, bir sistemin durumu zamanla değişir. Kapalı bir kuantum sistemindeki değişim birleştirici bir operatörle birlikte anılır, zamandeğişim operatörü. Bir ${\displaystyle t_{0}}$ zamanındaki ${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$ şeklinde gösterilen durum vektöründen ${\displaystyle t}$ zamanındaki ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ şeklinde gösterilen başka bir durum vektörüne olan birleştirici vektör ${\displaystyle U(t,t_{0})}$ şeklinde yazılır. Yani,${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$ şeklinde bir gösterim yapsak yerinde olur. Eğer sistemim Hamotian'ı zamanla değişmiyor ise zaman değişim operatörü ${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar },}$ şeklinde yazılır ki bu üssel ifade de Taylor serisinden çıkartılmıştır. Schrödinger gösterimleri özellikle zamandan bağımsız Hamoltanian'la uğraşıyorsak kullanışlıdır; ${\displaystyle \partial _{t}H=0}$

Arka plan

Basit kuantum mekaniğinde, kuantum mekaniksel bir sistemin durumu kompleks değerli bir dalga fonksiyonuyla ψ(x, t) ifade edilir. Daha soyut bir gösterimle, sistemin durumu bir durum vektörüyle gösterilebilir, başka bir deyişle bir ket ile,${\displaystyle |\psi \rangle }$. Bu ket Hilbert uzayı'nın bir elmanıdır, Hilbert uzayı sistemin tüm olası durumlarını gösteren bir vektör uzayıdır.Bir kuantum mekanik operatörü öyle bir fonksiyondur ki bir ket ${\displaystyle |\psi \rangle }$ verdiğimizde başka bir ket ${\displaystyle |\psi '\rangle }$ olarak çıkar. Kuantum mekaniğindeki Heisenberg ve Schrödinger gösterimleri arasındaki fark zamanla değişen sistemlerin ne şekilde ele alındığıyla ilgilidir: sistemin zaman bağımlı doğası durum vektörlerinin ve operatörlerin bazı kombinasyonları olarak ortaya çıkmak zorundadır. Mesela, sinüsodial olarak salınım yapan bir kuantum harmonik osilatörü momentum operatörünün beklenen değeri için ${\displaystyle |\psi \rangle }$ durumunda olabilir. Bu sinüsodial salınım ${\displaystyle |\psi \rangle }$ durum vektörüne veya ${\displaystyle {\hat {p}}}$ momentum operatörüne yahut ikisine birden yansıtılmalı mı yansıtılmamalı mı diye sorgulanabilir. Her üç durum da söz konusu olabilir; ilki Schrödinger gösterimini, ikincisi Heisenberg gösterimini, ve üçüncüsü etkileşim tasfirini verir.

Zaman değişim operatörü

Tanım

Zaman değişim operatörü U(t, t₀), t₀ anındaki bir kete t anına ait yeni bir ket yaratmak için etki eden operatör olarak tanımlanır:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$ olarak gösterilir.

Başka bir gösterimle

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$

Özellikler

Birleşim

Zaman değişim operatörü birleştirici bir operatör olmalıdır. Bunun sebebi durum ketinin matematiğinin zamanla değişmemesini istememizdir. Bunu için de,

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Bununla birlikte,

${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$

Tanımlama

t = t₀ olduğu zaman, U tanımlama operatörü olarak adlandırılır, O zaman,

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Kuşatılan Alan

t₀ anından t anına kadar olan değişim iki parçalı bir değişim olarak ele alınabilir, ilki t₀ anından t₁ anına olarak adlandırabileceğimiz bir ara zaman değerine, t₁ zaman değerinden de t son zaman değerine. O zaman,

${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$

Zaman değişim operatörü için diferansiyel denklemler

t₀ = 0 dönüşümüyle zaman değişim operatöründekit₀ indeksini atarız ve onuU(t) şeklinde yazarız. H kuantum mekaniğindeki Hamoltanian ise Schrödinger denklemi

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$ 'dir ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$ denklemini yazmak için U zaman değişim operatörünü kullandığımızda bu denkleme ulaşırız

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$

${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ sabit bir ket olduğu için (t = 0) anındaki durum keti, ve yukarıdaki ket Hilbert uzayındaki herhangi bir durum keti için doğru olduğundan, zaman değişim operatörü

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}U(t)=HU(t).}$

denkleminde kullanılabilir.

Eğer Hamiltonian zamandan bağımsız ise, yukarıdaki denkleme çözüm ^{[note 1]}

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$

H bir operatör olduğu için, bu üssel ifade Taylor serisine göre değerlendirilmelidir:

${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$

Bununla birlikte,

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$

${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ ketinin rastgele seçilmiş bir ket olduğu göz önünde bulundurulması gerekir. Bununla birlikte, eğer ilk ket Hamiltonian'ın bir özdurumu ise, ve öz değeri E ise:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$ sonucuna ulaşırız.

Bununla görürüz ki Hamiltonian özdurumları durağan durumlardır: onlar zamanla değişirken yalnızca genel faz çarpanları alırlar.

Eğer Hamiltonian denklemleri zamandan bağımsızsa, fakat farklı zamanlardaki Hamiltonian değerleri değişiyorsa, o zaman zaman değişim operatörü şu şekilde yazılabilir;

${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

Eğer Hamiltonian denklemleri zamana bağlıysa, fakat farklı zamanlardaki Hamiltonian değerleri değişmiyorsa, o zaman zaman değişim operatörleri su şekilde yazılabilir.

${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

Burada T zaman sıralama operatörüdür,veF.J.Dyson anısına bazen de Dyson serileri olarak adlandırılırlar.

Schrödinger gösterimine alternatif referans sistemini dönen referans sistemine çevirmektir, yani bir üretici tarafından döndürülen sistem. Dalgalı dönüş şimdi referans sisteminin kendisi olarak varsayıldığı için, bir dağıtılmamış durum fonksiyonu statik olarak görünür. Bu Heisenberg gösterimidir.

Ayrıca bakınız

• Hamilton–Jacobi equation
• Interaction picture
• Heisenberg picture

Notlar

1. Burada t = 0, U(t) nun tanım vektörüne indirgenmesini kullanırız.

İleri okuma

• Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press.
• Modern Quantum mechanics by J.J. Sakurai.