Trigama fonksiyonu

kompleks düzlem'de Trigama fonksiyonu ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ Renkli nokta ${\displaystyle z}$ 'ye karşı kodlanan değer ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$. koyu renkler sıfıra yakın değerlerdir ve tonlar argument olarak kodlanmıştır.

Matematik'te, trigama fonksiyonu, ψ₁(z),olarak gösterilen ikincil poligama fonksiyonu'dur,ve tanımı

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}$.

Bu tanıma dayanarak

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}$

burada ψ(z) digama fonksiyonu'dur. Seri toplamı olarak da tanımlanabilir.

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$

özel bir durumu Hurwitz zeta fonksiyonu'dur.

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}$

Not son iki formülde 1-z doğal sayı değildir..

Hesaplama

Bir çift integral gösterimi

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dy}{y}}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}\,dx}{1-x}}}$

geometrik seri toplamı için kullanılan bir formül. Kısmi integrasyonla:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}$

Asimtotik açılım Bernoulli sayıları yardımıyla olur

${\displaystyle \psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}}$.

Tekrarlama ve refleksiyon formulleri

The trigamma fonksiyonuna karşı gelen tekrarlama ilişkisi:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}$

ve refleksiyon formülü:

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,}$

Özel değerler

Trigama fonksiyonunun bazı özel değerleri:

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Burada K gösterimi Catalan sabiti'dir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Gama fonksiyonu
• Digama fonksiyonu
• Poligama fonksiyonu
• Catalan sabiti

Kaynakça

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4
• Eric W. Weisstein. Trigamma Function -- from MathWorld--A Wolfram Web Resource