Vieta formülleri

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Vieta formülleri

Eğer

$P(X)=a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0$

derecesi $n\ge 1$ olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n$ sayıları kompleks, ve $a_n$ sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre $P(X)$ $n$ (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: $x_1, x_2, \dots, x_n.$ Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle \begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}}$

Anlamı, $P(X)$'in $k$ tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı $(-1)^ka_{n-k}/a_n$'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

$\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

şeklinde her $k=1, 2, \dots, n.$ yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak $P(X)=aX^2 + bX + c$ şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, $P(X)=0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$

Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatı

Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir: $a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$

($x_1, x_2, \dots, x_n$ bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarpı, $X.$'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.

Ayrıca bakınız

• Cebirsel Denklem Çözümleri ve Vieta Formülleri
• en:Viete (İngilizce)
• en:Second Degree Polynomial (İngilizce)
• en:Rational root theorem (İngilizce)
• en:Fundamental theorem of algebra (İngilizce)

Kaynaklar

• Erzen, Ömer R. (2008). Cebirsel Bir Denklemin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Iliskinin Incelenmesi, 19 sf., Çukurova Üniversitesi, Adana.
• Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I.
• Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY.