Yaygın koordinat dönüşümleri listesi

Burada, en yaygın olarak kullanılan koordinat dönüşümü bazılarının bir listesi verilmiştir. Kısmi türevler alınırken çarpımın türevi gibi davranıldığı akildan çıkarılmamalıdır. Bir örnek olarak y=x.e^x.sin (x) fonksiyonunda üc çarpim vardir ve türevi

y'=(x)'.e^x.sin (x )+x. (e^x)'.sin (x)+x.e^x. (sin(x))' ve

y'=e^x.sin (x )+x.e^x.sin (x)+x.e^x.cos (x) olur.veya;

(x.y.z)'=y.z+x.z+x.y toplami tam türevi saglar. Her parça türevin bir bilesenidir.ilk örnekte çarpim türevi tek degiskene uygulanirken ikincide 3 degiskene uygulandi Asagidaki örneklerin tümü yine çarpim türevi omurgasi üzerine oturmustur. Matrisin her satiri üstten alta sırasıyla x, y, z fonksiyonlarinin karsiliklari olan kutupsal, küresel, silindirik vs nin türevleridir.2 veya 3 bilinmeyenli bir denklemi çözerken bu determinant karsimiza çikar. Bir diger örnek olarak sunu kastediyoruz:

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}$

matrisin üst satiri x in türevi x' ve Alt satiri y nin türevi y' dür. matristeki degerler çarpim türevi alindiktan sonra aradaki isaretle iki bilinmeyenli bir denkleme dönüsen esitliğin sagindaki kutupsal degerlerin matrisel gösterimidir.3 degiskenli fonksiyonlarda ise benzer sekilde 3x3 matris olacaktir

2-Boyutlu

(x, y) standart kartezyen koordinat, ve r ve θ standart kutupsal koordinatlar olsun.

Kutupsal koordinatlardan kartezyen koordinatlara

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}$

Kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|}$

Not

${\displaystyle \theta ^{\prime }}$'yi çözmek için ilk kadran bileşke açı ile döner(${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$). ve ${\displaystyle \theta }$ bulunur.Bunun için orijinal kartezyen koordinat başvurmalıdır,${\displaystyle \theta }$'nın kadranını belirlemek ve çözmek için aşağıdakileri kullanın;

${\displaystyle \theta }$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ QI'in içindeyse:

${\displaystyle \theta =\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ QII'nin içindeyse:

${\displaystyle \theta =\pi -\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIII'ün içindeyse:

${\displaystyle \theta =\pi +\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIV'ün içindeyse:

${\displaystyle \theta =2\pi -\theta ^{\prime }}$

${\displaystyle \theta }$ değeri için çünkü ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \tan \theta }$ tüm değerlerinin bu şekilde çözülmesi için gereken yalnızca ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}$ aralığında tanımlı olmalıdır ve periyodik ($\pi$periodu ile)olmalıdır. Bu ters fonksiyon,sadece fonksiyon etki değerleri vermek anlamına gelir, ancak tek bir period ile sınırlı.Dolayısıyla, ters fonksiyonunu aralığında bir tam yarım daire.

Bir de Aklınızda bulunsun

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {y}{x+r}}}$

Log-polar koordinatlar kartezyen koordinat sistemine

${\displaystyle {\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}}$

Karmaşık sayılar kullanılarak ${\displaystyle (x,y)=x+iy'}$, dönüşümü gibi yazılabilir

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }\,}$

Bu karmaşık üstel fonksiyonu ile verilir yani.

Kartezyen koordinatlardan "log-polar" koordinatlara

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta =\arctan {\frac {y}{x}}.\end{cases}}}$

Bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

İki merkezli bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara^[1]

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}}$

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}}$

İki merkezli bipolar koordinatlardan polar koordinatlara

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}$

Burada 2c kutuplar arasındaki mesafedir.

Cesàro denkleminden kartezyen koordinat sistemine

${\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

${\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

Kartezyen koordinatlardan Yay uzunluğu ve eğriliğe

${\displaystyle \kappa ={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}$

Polar koordinatlardan yay uzunluğu ve eğriliğe

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}}$ ${\displaystyle s=\int _{a}^{\phi }{\sqrt {1+y'^{2}}}\,d\phi }$

3-Boyutlu

(x, y, z) standart kartezyen koordinatlar ve (ρ, θ, φ) küresel koordinatlar olsun,ölçülen açı ise +Z axisinden θ iledir.Φ 360° alındığında polar ile aynı düşüncelerle(2 boyutlu) bunun bir arctan'ı alındığında geçerli koordinatlara sahiptir. θ nın sınırı 180°'dir,0°dan 180°'ye dönen bir arccos'un hesaplanması herhangi bir sorun teşkil etmez, ancak arctanjantı için dikkatli olunur. Alternatif tanım için, θ −90°den +90°'ye döner şeklinde seçilmiştir, daha önceki tanımla ters yönde, o bir arcsin'e eşit bulunmayabilir, ancak arccotanjanta dikkat. Aşağıdaki tüm formüllerde bu durumdaki tüm θ açıları sinüs ve kosinüse değişebilir ve türevi olarak da artı ve eksiye değişebilir.Ana eksenlerden biri boyunca aynı yönde olan özel durumlarında tüm sıfıra bölünmeme sonuçlarının ve gözlemlerin pratikte çok kolay çözümleri vardır.

Kartezyen koordinatlara

Küresel koordinatlardan

${\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad }$

${\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad }$

${\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}}$

Böylece hacim ögesi için:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;}$

Silindirik koordinatlardan

${\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta }$

${\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta }$

${\displaystyle {z}={h}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Böylece hacim ögesi için:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;}$

Küresel koordinatlara

Kartezyen koordinatlardan

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}}$

Silindirik koordinatlar

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\phi \quad }$

${\displaystyle {\theta }=\arctan {\frac {r}{h}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\phi ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

Silindirik koordinatlara

Kartezyen koordinatlardan

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y}$

${\displaystyle h=z\quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Küresel koordinatlardan

Not: Bu bölümün isimlendirme ile tutarlılık için güncellenmesi gerekir. Bir diyagramda her bir değişkenin neyi temsil ettiğini gösteren bu makale içine dahil edilmelidir. Genellikle ${\displaystyle \theta \,}$ küresel koordinatlar ve ${\displaystyle \phi \,}$ silindirik koordinatlar için düzlem açısı için polar açıyı temsil eder. Burada iki karışık ve karışıklığa neden olabilir.

${\displaystyle r=\rho \sin \phi \,}$

${\displaystyle \theta =\theta \,}$

${\displaystyle h=\rho \cos \phi \,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho }$

Kartezyen koordinatlardan yay uzunluğu, eğrilik ve burulma

${\displaystyle s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle \tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}$

Kaynakça

1. Weisstein, Eric W.. (26 Mayıs 1999). "Bipolar Coordinates.", Treasure Troves. http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/b/b233.htm. Erişim tarihi: 14 Şubat 2007.