Bézier eğrisi

Kübik Bézier eğrisi

Bézier eğrisi, özellikle bilgisayar grafikleri ve ilgili alanlarda sıklıkla kullanılan parametrik eğri biçimidir. Eğri, seçilen kontrol noktaları esas alınarak oluşturulur^[1]. İlk ve son noktalar eğri ile kesişirken, seçilen diğer noktalar genellikle eğrinin üzerinde yer almaz (interpolasyon eğrisi).

Günümüzde modelleme uygulamalarından, yazı tipi oluşturma tekniklerine kadar sayısız alanda kullanılmaktadır^[2].

Tarih

Fikrin temelleri, ilk olarak, 1959 yılında, Paul de Faget de Casteljau (en) isminde, Citroën'de çalışan bir Fransız otomotiv mühendisi tarafından atılmıştır. Aynı yıllarda, Renault'da silindir parçalarının kesişimi üzerinde incelemeler yapan bir başka Fransız otomotiv mühendisi Pierre Bézier (en) de benzer bir yaklaşımla araştırmalarını sürdürmüştür ^[3].

İki çalışan da birbirlerinden ayrı olarak aynı sonuçları elde etmesine karşın, konu hakkında yayınlanan ilk makale Bézier tarafından yazıldığından, günümüzde bu eğri, Bézier eğrisi olarak bilinmektedir.

Tanım

Bézier eğrisi, kontrol noktaları ve onları inşa edecek bir temel fonksiyon ile tanımlanır^[4]. Seçilen ilk ve son kontrol noktası, eğrinin başı ve sonunu oluşturur. Aradaki diğer noktalar ise eğrinin yapısını belirlemek için kullanılır. Bu bağlamda bu noktalar, genellikle eğrinin üzerinde yer almaz.

Temel fonksiyon

Bézier eğrisi, matematiksel olarak, genellikle Bernstein polinomu (en) baz alınarak ifade edilir. Buna göre, ${\displaystyle n}$'inci dereceden temel fonksiyon, kontrol noktalari ${\displaystyle i}$ ile parametrize edilmek üzere, aşağıdaki şekilde gösterilir.

${\displaystyle B_{i,n}(u)={\binom {n}{i}}u^{i}(1-u)^{n-i}}$

Genel formül

Eğri, cebirsel olarak, ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$'nci kontrol noktası ve ${\displaystyle B{i,n}}$ ilgili temel fonksiyon olmak üzere, şu şekilde formulize edilir.

${\displaystyle C(u)=\sum _{i=0}^{n}P_{i}B_{i,n}(u)}$

Türevi

Genel formülün türevi alınmasıyla aşağıdaki eşitlik elde edilir.

${\displaystyle C'(u)=n\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(P_{i+1}-P_{i})\cdot B_{i,n-1}(u)}$

Yaygın türleri

Lineer Bézier eğrileri

Lineer Bézier eğrisi örneği

İki nokta ile belirtilen lineer Bézier eğrileri, eğim faktörü içermediğinden, başı ve sonu ilk ve son nokta ile belirtilen bir doğru parçası oluştururlar.

${\displaystyle C(u)=P_{0}(1-u)+P_{1}u}$

Karesel Bézier eğrileri

Karesel Bézier eğrisi örneği

Üç nokta ile belirtilen karesel Bézier eğrileri, ikinci dereceden denklem meydana getirdiklerinden parabolik bir şekil oluştururlar.

${\displaystyle C(u)=P_{0}(1-u)^{2}+2P_{1}u(1-u)+P_{2}u^{2}}$

Kübik Bézier eğrileri

Kübik Bézier eğrisi örneği

Kübik Bézier eğrileri, dört nokta ile belirtilir. Basit yapılarına karşın, büküm (en) özelliğine sahip olmaları dolayısıyla uygulamalarda en yaygın kullanılan Bézier eğrileridir.

${\displaystyle C(u)=P_{0}(1-u)^{3}+3P_{1}u(1-u)^{2}+3P_{2}u^{2}(1-u)+P_{3}u^{3}}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel şekillerin listesi
• Bézier yüzeyi (en)
• İnterpolasyon
• NURBS (en)
• Spline fonksiyonu

Kaynaklar

1. Şadi Evren ŞEKER (31 Ekim 2009). "Bezier Eğrileri (Bezier Curves)". 14 Nisan 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20150414092649/http://bilgisayarkavramlari.sadievrenseker.com/2009/10/31/bezier-egrileri-bezier-curves/. Erişim tarihi: 25 Aralık 2013. 
2. Ömer Çakır. "BOYAMA VE KATI CİSİM ÜRETİMİ" (Ders notu). 26 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20131126124452/http://ceng.ktu.edu.tr:80/~cakir/download/Boyama%20ve%20Kati%20Cisim%20Uretimi.pdf. Erişim tarihi: 25 Aralık 2013. 
3. M. A. Yükselen. "2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri" (Ders notu). http://web.itu.edu.tr/~yukselen/HM504/02Ek-%20Bezier%20e%F0rileri.pdf. Erişim tarihi: 25 Aralık 2013. 
4. Andersson, Fredrik. "Bezier and B-Spline Technology" (Yüksek lisans tezi). Umeâ Universitet. 2003. http://www.cs.umu.se/education/examina/Rapporter/461.pdf

• Wikipedia, Özgür Ansiklopedi. "Bezier curve" (23 Kasım 2013). http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve. Erişim tarihi: 25 Aralık 2013.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Bézier Curve (MathWorld)