Babenko-Beckner eşitsizliği

Matematik'te, Babenko–Beckner eşitsizliği (K. Ivan Babenko ve William E. Beckner anısına) Fourier dönüşümünün (q, p)-normuna^[1] keskin üst sınırları hesaplar. Bu eşitsizlik aynı zamanda Hausdorff–Young eşitsizliğinin keskin formu olarak görülebilir ve entropik belirsizlik prensibinin kanıtında kullanılır. n-boyutlu Fourier dönüşümünün (q, p)-normu şu şekilde tanımlanır

$\|\mathcal F\|_{q,p} = \sup_{f\in L^p(\mathbb R^n)} \frac{\|\mathcal Ff\|_q}{\|f\|_p},\text{ burada }1 < p \le 2,\text{ ve }\frac 1 p + \frac 1 q = 1.$

1961'de, Babenko^[2] q nun çift tamsayı değerleri için bu normu hesapladı. 1975 yılında Beckner^[3], Fourier dönüşümünün özfonksiyonları olan Hermit fonksiyonları'nı kullanarak tüm $q \ge 2$ için bu normun değerlerini buldu

$\|\mathcal F\|_{q,p} = \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}.$

Başka bir deyişle, Babenko–Beckner eşitsizliği şöyledir

$\|\mathcal Ff\|_q \le \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2} \|f\|_p.$

Bu eşitsizliği tek boyutta (yani $n=1$ durumunda) açıkça yazarsak

$g(y) \approx \int_{\mathbb R} e^{-2\pi ixy} f(x)\,dx\text{ ve }f(x) \approx \int_{\mathbb R} e^{2\pi ixy} g(y)\,dy,$

eşitlikleri sağlandığı takdirde,

$\left(\int_{\mathbb R} |g(y)|^q \,dy\right)^{1/q} \le \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{1/2} \left(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p \,dx\right)^{1/p}$

sağlanır. Başka bir deyişle,

$\left(\sqrt q \int_{\mathbb R} |g(y)|^q \,dy\right)^{1/q} \le \left(\sqrt p \int_{\mathbb R} |f(x)|^p \,dx\right)^{1/p}.$

Kanıtın ana fikri

Bu taslak boyunca bir kanıtı,diyelimki

$1 < p \le 2, \quad \frac 1 p + \frac 1 q = 1, \quad \text{ve} \quad \omega = \sqrt{1-p} = i\sqrt{p-1}.$

(q için dışında,daha fazla olacak veya Beckner'in gösterimi daha az takip.)

iki-nokta lemması

Diyelimki $d\nu(x)$ ayrık ölçümü ile $x = \pm 1.$ noktasında $1/2$ ağırlığı olsun. O zaman işlemci

$C:a+bx \rightarrow a + \omega bx\,$

$L^p(d\nu)$ to $L^q(d\nu)$ göndermesi norm 1 ile; şudur,

$\left[\int|a+\omega bx|^q d\nu(x)\right]^{1/q} \le \left[\int|a+bx|^p d\nu(x)\right]^{1/p},$

veya daha açığı,

$\left[\frac {|a+\omega b|^q + |a-\omega b|^q} 2 \right]^{1/q} \le \left[\frac {|a+b|^p + |a-b|^p} 2 \right]^{1/p}$

a, b herhangi karmaşığı için. ("iki-nokta lemması"nın kanıtı için Beckner'in yazılarına bakınız.)

Bernoulli denemelerinin bir dizisi

$d\nu$ ölçüsü yukarıda tanıtılan aslında bir uygun Bernoulli denemeleri ile ortalama 0 ve değişken 1 dir. n in bir dizisinin toplamı gibi Bernoulli denemeleri dikkate alındığında, bağımsız ve normalize edilmiş böylece standard sapma kalıntısı 1. We obtain the measure $d\nu_n(x)$ which is the n-fold convolution of $d\nu(\sqrt n x)$ with itself. Son adım temel simetrik polinomlara sırasıyla $d\nu_n(x)$ ın (n + 1)-nokta uzayı üzerinde tanımlanan bir operatör yukarda iki-nokta üzerinde tanımlanan C işlemcisine genişletilir.

Standard normal dağılıma yakınsama

polinomal büyümenin fonksiyonlarına sırasıyla standard normal olasılık dağılımı $d\mu(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\, dx$ na zayıf yakınsak $d\nu_n(x)$ dizisidir.limit içinde, $d\nu_n(x)$ ölçümü sırasıyla temel simetrik polinomların terimleri içinde yukarda C işlemcisinin açılımı standard normal dağılıma sırasıyla Hermite polinomlarının terimleri içinde bir T işlemcisi olarak ifade edilebilir. Bu Hermite fonksiyonları Fourier dönüşümünün öz fonksiyonlarıdır, ve Fourier dönüşümünün (q, p)-normu bazı renormalizasyon sonrası bir sonuç olarak elde edilir

Ayrıca bakınız

• Hirschman belirsizliği

Kaynakça

1. Iwo Bialynicki-Birula. Formulation of the uncertainty relations in terms of the Renyi entropies. arXiv:quant-ph/0608116v2
2. K.I. Babenko. An ineqality in the theory of Fourier analysis. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 25 (1961) pp. 531–542 English transl., Amer. Math. Soc. Transl. (2) 44, pp. 115–128
3. W. Beckner, Inequalities in Fourier analysis. Annals of Mathematics, Vol. 102, No. 6 (1975) pp. 159–182.