Bessel polinomları

Matematik'te, 'Bessel polinomları' olan bir ortogonal polinom'lar dizisidir.Farklı ancak yakından ilişkili tanımları vardır.Matematikçilerin tercih ettiği tanım seri(Krall & Fink, 1948)ile verilir

${\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}}$

Elektrik mühendisleri tercih ettiği bir başka tanım, zaman zaman ters Bessel polinomları olarak bilinir.(Grosswald 1978, Berg 2000).

${\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(2n-k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{k}}{2^{n-k}}}}$

İkinci tanımı katsayıları ilk olarak, ancak ters sıradan aynıdır. Örneği üçüncü derece Bessel polinomdur

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\,}$

üçüncü derece ters Bessel polinomu ise

${\displaystyle \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15\,}$

Bessel elektronik filtreler'de ters Bessel polinomunun tasarımı kullanılır

Özellikleri

Bessel fonksiyonları açısından tanımı

Bessel polinom da kullanılarak tanımlanabilir artan faktöriyel adını aldığı polinomu çekiyor .

${\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

burada ${\displaystyle K_{n}(x)}$ is değiştirilmiş Bessel ikinci tür fonksiyon ve.${\displaystyle y_{n}(x)}$ ters polinomdur(pag 7 and 34 Grosswald 1978).

Bir hipergeometrik fonksiyon olarak tanımı

Bessel polinomu ayrıca bu şekilde tanımlanabilir konfluent hipergeometrik fonksiyonu (Dita, 2006)

${\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}$

Ters Bessel polinomu genelleştirilmiş bir şekilde tanımlanabilir Laguerre polinomu:

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}$

bu aynı zamanda bir hipergeometrik fonksiyonu olarak tanımlanabilir ki aşağıda aldığı:

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;-2x)}$

burada ${\displaystyle (-2n)_{n}}$ is the Pochhammer sembolü (artan faktörlü).

Fonksiyonu oluşturma

Bessel polinomları üretme fonksiyonu var

${\displaystyle \sum _{n=0}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

Özyineleme

Bessel polinomu ayrıca bu özyineleme formülü tarafından tanımlanabilir:

${\displaystyle y_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}$

ve

${\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}$

Diferansiyel denklemler

Bessel polinomu aşağıdaki diferansiyel denkleme uyar:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}$

ve

${\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}$

Genelleme

Açık Formu

Bessel polinomları bir genelleme literatürde ileri sürülmektedir.(Krall, Fink), aşağıda gösterildiği gibi:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}$

karşılık gelen ters polinomları

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}$

Ağırlıklandırma fonksiyonu için

${\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}$

Bu ilişkiler açısından ortogonal bulunmaktadır

${\displaystyle 0=\oint _{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y_{n}(x;\alpha ,\beta )y_{m}(x;\alpha ,\beta )\mathrm {d} x}$

için de geçerlidir${\displaystyle m\neq n}$ ve ${\displaystyle c}$ a 0 noktasını çevreleyen bir eğri.

${\displaystyle \alpha =\beta =2}$ için Bessel polinomları özelleştireceğiz,buradaki durumda ${\displaystyle \rho (x)=e^{-2/x}}$.

Bessel polinomları için Rodrigues formülü

Yukarıdaki diferansiyel denklemin özel çözümler olarak Bessel polinomları için Rodrigues formülü:

${\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{\frac {(-\beta )}{x}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{\frac {(-\beta )}{x}})}$

burada ${\displaystyle a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$ normalizasyon katsayılarıdır.

İlişkili Bessel polinomları

Bu genellemeye göre şu genelleştirilmiş ilişkinin Bessel polinomları diferansiyel denklem var:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

burada ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$. çözümü,

${\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{\frac {(-\beta )}{x}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{\frac {(-\beta )}{x}})}$

Özel değerler

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}$

Kaynakça

• Carlitz, Leonard (1957). "A Note on the Bessel Polynomials". Duke Math. J. 24 (2): ss. 151–162. DOI:10.1215/S0012-7094-57-02421-3. MR 0085360. 
• Krall, H. L.; Fink, O. (1948). "A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials". Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1): ss. 100–115. DOI:10.2307/1990516. JSTOR 1990516. 
• "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences". 29 Mayıs 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20100529085046/http://www.research.att.com:80/~njas/sequences/. Erişim tarihi: 16 Ağustos 2006.  (Dizileri görmek için Şablon:OEIS2C, Şablon:OEIS2C, ve Şablon:OEIS2C)
• Dita, P.; Grama, Grama, N. (24 Mayıs 2006). "On Adomian’s Decomposition Method for Solving Differential Equations". 
• Fakhri, H.; Chenaghlou, A. (2006). "Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials". Physics Letters A (5–6): ss. 345–353. Bibcode 2006PhLA..358..345F. DOI:10.1016/j.physleta.2006.05.070. 
• Grosswald, E. (1978). Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics). New York: Springer. ISBN 0-387-09104-1. 
• Roman, S. (1984). The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials §4.1.7). New York: Academic Press. ISBN 0-486-44139-3. 
• Berg, Christian; Vignat, C. (2000). "Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions" (PDF). 23 Ekim 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20131023055813/http://www.math.ku.dk/~berg/manus/bessel.pdf. Erişim tarihi: 2006-08-16. 

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Bessel Polynomial (MathWorld)