Birleşmeli cebir

Matematikte, birleşmeli cebir A birleşmeli halka (mutlaka birimsel değil) ve R değişmeli halka üzerinde bir modülün veya daha genel olarak belli bir K alanı üzerinde bir vektör uzayının uyumlu bir yapısına sahiptir. Böylece hem alan K veya halka R elemanları ile uyumlu çarpmanın birleşimi ve dağılımını içeriyor hem de aksiyomların bir sayısını karşılayan toplam ve çarpımının ikili operasyonları ile donatılmıştır. Örneğin, bir K alanı üzerinde kare matrislerin bir halkası birleşmeli K cebiridir. Daha genel olarak S,birleşmeli C cebiridir,merkez C ve bir halka S ile verilir. Matematiğin bazı alanlarında, birleşmeli cebirlerin genellikle 1 ile gösterilen, bir çarpımsal biriminin olduğu varsayılır. Bu ekstra varsayımı açıklığa kavuşturan, bu birleşmeli cebirlere birimsel cebirler denir. Ayrıca, bazı yazarlar tüm halkaların birimsel olması fikrinde; Bu makalede, halka kelimesinin potansiyel birimsel olmayan halkalara karşılık geldiği amaçlanmıştır.

Resmi tanım

Diyelimki R sabitlenmiş bir değişmeli halka olsun. Bir birleşmeli R-cebri bir ek abelyen grup Adır bu halka çarpımı gibi bir yol içinde hem bir halka ve hem de bir R-modülün yapısı olan R-çiftdoğrusaldır:

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}$

tüm r ∈ R için ve x, y ∈ A ve Biz diyoruzki A birimsel ise 1 ögesini içerir böylece

${\displaystyle 1x=x=x1}$

tüm x ∈ A için. Unutmadan böyle bir 1 ögesi o hiç var olmadığından tek olmalıdır.

Eğer A kendisi birleşmeli (bir halka olarak) ise bu bir birleşmeli R-cebridir.

R-modülünden

bir R-modulo A ile başlıyoruz,biz A donanımlı bir birleşmeli R-cebir ile bir R-çiftdoğrusal eşleme A × A → A alıyoruz, böylece

${\displaystyle x(yz)=(xy)z\,}$

tüm x, y, ve z için A içinde. Bu R-çiftdoğrusal eşleme ise verilen bir A halka yapısı ve bir birleşmeli R-cebir verilir. Her birleşmeli R-cebir bu şekilde ortaya çıkar.

Dahası,A cebri bu şekilde birimsel ancak ve ancak burada A nın bir 1 ögesi olacak şekilde örülmüştür.Böylece A nın karşıladığı her x ögesi 1x = x1 = x.

Bu tanım durumu için eşdeğer bir birimsel birleşmeli R-cebri R-Mod içinde bir monoiddir.(R-modülünün monoidal kategorisi).

Halkalardan

Bir halka ile başlayarak A, we get bir birimsel birleşmeli R-cebir bir halka homomorfizmi ile sağlanan ${\displaystyle \eta \colon R\to A}$ böylece Anın merkezi içinde yer alan görüntüsüdür. A cebri gibi de düşünülebilir bir R-module ile tanımlanıyor

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$

tüm r ∈ R için ve x ∈ A.

Eğer A değişmeli ise A nın mer..kezi A için eşdeğerdir, böylece bir değişmeli birimsel R-cebir ${\displaystyle \eta \colon R\to A}$ değişmeli halkaların basit bir homomorfizmi olarak tanımlanabilir.

Cebrik homomorfizmler

Bir homomorfizm iki birleşmeli R-cebirleri ile bir R-doğrusal halka homomorfizmi arasındadır. Açıkçası ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ bir birleşmeli cebir homomorfizmidir.Eğer

${\displaystyle \phi (r\cdot x)=r\cdot \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)\,}$

${\displaystyle \phi (xy)=\phi (x)\phi (y)\,}$

birimsel birleşmeli R-cebirinin bir homomorfizmi için, ayrıca arzuladığımız

${\displaystyle \phi (1)=1\,}$

tüm birimsel birleşmeli R-cebirinin sınıfı ile ile birlikte cebir homomorfizmleri bir kategori formu arasında, bazen R-Alg ile ifade edilir.

Birleşmeli R-cebirinin altkategorisi eşdilim kategori R/CRing olarak karakterize edilebilen burada CRing birleşmeli halkaların kategorisidir.

Örnekler

En temel örnek bir halkanın kendisidir; onun merkezi ya da merkezinde yatan herhangi bir alt halka üzerinde bir cebiridir. Özellikle de, herhangi bir değişmeli halka kendi Althalkalar üzerinde herhangi bir cebiridir. Diğer örnekler cebir ve matematik diğer alanlarına hem de boldur.

Cebir

• Herhangi bir (birimsel) halka A özgün bir şekilde bir birimsel Z-cebri olarak kabul edilebilir. A ya ,Z den ayrı bir halka homomorfizması bu A'daki birim 1'e göndermelidir gerçeği ile belirlenir

Bu nedenle halka ve birimsel Z-cebirleri abeliyan grup lar ve Z-modüllerinin eşdeğeridir, aynı şekilde, eşdeğer kavramlar vardır.

• n karakteristiğinin herhangi bir halkası bir (Z/nZ)-cebri aynı şekildedir.
• Bir R-module M, M'nin endomorfizm halkası ifadesi End_R(M) bir R-cebri ile (r·φ)(x) = r·φ(x) ile tanımlanıyor.
• bir R değişmeli halkası içinde matrisler ile katsayıların herhangi bir halkası matris çarpma ve toplamı altında bir R-cebir oluşturur. Bu M sonlu üretilen olduğunda önceki örnek ile çakışır, serbest R-modülü.
• Kare nile n matrisler alan K dan girişleri ile K üzerinde bir birimsel birleşmeli cebir oluştururlar. Özel olarak,2 × 2 gerçek matrisler düzlem eşlemede kullanışlı birleşmeli cebir oluştururlar.
• Kompleks sayı lar gerçek sayı lar üzerinde bir 2-boyutlu birimsel birleşmeli cebir oluştururlar.
• Dördeyler (kompleks sayılar kuaterniyonların, karmaşık sayılar ve kuaterniyonların bir alt kümesi olarak kabul edilir eğer bu bağlamda bir değişme yok ise, ama kompleks sayılar üzerinde bir cebir) 4-boyutlu birimsel birleşmeli Gerçekler üzerinde cebir oluştururlar.
• Gerçek katsayılı polinomsal lar gerçekler bir birimsel birleşmeli cebir oluştururlar.
• Her polinom halka R[x₁, ..., x_n] değişmeli bir R-cebridir. Aslında bu {x₁, ..., x_n} kümesi R-cebiridir.
• Bir E kümesi üzerinde serbest R-cebiridir R içinde katsayılı polinomların bir cebiridir ve E kümesinden alınan belirsizlikler değişmeli değildir.
• Bir R-modülünün tensör cebiri doğal bir R-cebiridir. Aynı tür dış ve simetrik cebir gibi katsayılar için de geçerlidir. Kategorik konuşma, funktoru onun tensör cebir için R-modülünün altında yatana bir R-cebir gönderen funktora sol eşlenik tir(halka yapısını unutmadan).
• Değişmeli bir halka R ve herhangi bir halka A göz önüne alındığında tensör çarpımı R⊗_ZA ⊗ r · ( s ⊗ a) ile tanımlanıyor. R⊗_ZA için A ya onun funktoru (modül yapısını unutmadan) onun altında yatan halka bir R-cebiri sol eşlenik için funktor gönderir .

Analiz

• Herhangi bir Banach uzayı X, alındığında Sürekli doğrusal operatörler A: X → X (çarpma gibi operatörler kompozisyonu kullanılarak) bir birimsel birleşmeli cebir oluştururlar; Bu bir Banach cebiri 'dır.
• Verilen herhangi bir topolojik uzay X, X sürekli gerçek veya karmaşık değerli fonksiyonlar Bir gerçek ya da karmaşık birimsel birleşmeli cebir oluştururlar; buraya fonksiyonu eklendi ve çarpılan noktasal vardır.
• Bir birimsel birleşmeli olmayan cebir bir örneği tüm fonksiyonların kümesif: R → R ile verilir.Sonsuza yaklaştıkça x limiti sıfırdır.
• Tanımlanan semimartingaleler kümesi altında süzülmüş olasılık uzayı (Ω,F,(F_t)_t ≥ 0,P) rassal bütünleşme altında bir halka oluşturur.

Geometri ve kombinatorik

• Clifford cebirler geometri ve fizikte kullanışlıdır
• Sıklık cebiri yerel sonlu kısmi dereceli kümeler kombinatorikler içinde düşünülebilir birleşmeli birimsel cebirler vardır.

Kurulumlar

Altcebirler

bir R-cebrinin bir altcebri olan Anın bir altkümesi Anın hem bir althalkası ve hem de bir altkümesidir. Şöyleki, toplama, halka çarpım, skaler çarpım altında kapalılık(periyodisite olmalı yani modül veya döngü), ve Anın birim öğesini içermelidir.

Bölüm cebiri

Diyelimki A bir R-cebri olsun. Anın içerisinde ideal Inin herhangi teorik halka r·x = (r1_A)x bir R-modülü bağlamında otomatiktir. Bu verilen bölüm halkası A/I bir R-modülünün yapısı ve aslında, bir R-cebridir. Aşağıdaki Anın herhangi halka homomorfizm imajı ayrıca bir R-cebridir.

Direkt çarpım

R-cebirlerinin bir ailesinin direk çarpımı halka-teoretik direkt çarpımdır. Bu bir R-cebri ile açık skaler çarpım alır.

çarpımlar

One can form of grupların serbest çarpımı için benzer bir şekilde içinde R-cebirlerinin bir serbest çarpım formu olabilir.Serbest çarpım R-cebirlerinin kategorisi içinde eşçarpımdır.

Tensor çarpımları

İki R-cebirinin tensör çarpımı ayrıca bir doğal yol içinde bir R-cebridir .Ayrıntı için Cebirlerin tensör çarpımına bakınız.

Bir Lie cebri için alıştırma

One can try to be more clever in defining bir tensör çarpımı tanımı içinde daha akıllıca olduğu denenebilir. Bir örnekle düşünelim,

${\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}$

böylece tensör çarpım uzayı üzerinde bir hareket şöyle verilebilir

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}$.

Bu eşleme x içinde açıklıkla doğrusaldır, vve böylece daha önceki tanımında sorun yoktur. Bununla birlikte, çarpımı korumak için başarısız olur:

${\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

Ancak, genel olarak, bu eşit değildir

${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

Bu tensör çarpımının bu tanımının çok saf olduğunu gösterir. Bir Lie cebiri (yerine bir ilişkisel cebir hariç) çift gösterimleri tensör çarpımını tanımlamak için da kullanılabilmektedir olabilir.

Ayrıca balınız

• Soyut cebir
• Cebrik yapı
• Bir alan üzerinde cebir

Kaynakça

• Bourbaki, N. (1989). Algebra I. Springer. ISBN 3-540-64243-9. 
• Ross Street, Quantum Groups: an entrée to modern algebra (1998). (Provides a good overview of index-free notation)