Dış cebir

Vektörlerin sıralı bir grubu tarafından belirlenen yönlendirme.

Ters yönelim,dış çarpımı olumsuzlayan karşılık.

n = 0(işaret noktası) için gerçek bir dış çarpım cebir sınıf n elemanlı geometrik yorumu, 1 (yönlü bir çizgi parçası, ya da vektör), 2 (yönelimli düzlem eleman), 3 (yönelimli hacim).n vektörlerin dış çarpımı herhangi bir n-boyutlu bir şekil (örneğin, n-paralelotop, n-elipsoid,hipervolüm ile büyüklük ve yönelim ) olarak görselleştirilebilir;(n − 1)-boyutlu sınır ve iç hangi tarafta ise kendiside o tarafında tanımlanır.^[1][2]

Matematikte, vektörlerin dış çarpım veya kama çarpımı alanları, hacimleri ve onların yüksek boyutlu analoglarını incelemek için Öklid geometrisi kullanan bir cebirsel yapıdır. U tarafından gösterilen iki vektör u ve v nin dış çarpım u ∧ v, bir bivektor denilen ve dış kare vektörlerin orijinal uzayından farklı bir geometrik vektör uzayı adı verilen bir uzayda canlandırılmaktadır.Büyüklüğü,^[3] u ∧ v iki vektör ve üç boyutlu içinde aynı zamanda, iki vektörün çapraz çarpımı kullanılarak hesaplanabilir u ile v paralelkenar bölgesi olarak yorumlanabilir. Ayrıca, çapraz çarpım gibi, dış çarpım u ∧ v = −(v ∧ u), yani antikomutatif - tüm u ve v vektörleri için bivektör görselleştirmenin bir yolu, aynı düzlemde yer alan aynı alana sahip ve sınırları-seçim saat yönünde ya da saat tersi yönünün aynı taraf yönlendirmesi ile(işaret fonksiyonu ile) paralelkenarların bir ailesi gibidir.Bu şekilde kabul olduğunda iki vektörün dış çarpımı 2 bıçaklı olarak adlandırılır. Daha genel olarak, vektörlerin herhangi bir k sayısının dış çarpım olarak tanımlanabilir ve bazen bir k-bıçak olarak adlandırılır. Burada k-inci dış güç olarak bilinen bir geometrik uzay ''yaşamaktadır''.Oluşan k-bıçağının büyüklüğü, bu vektörler tarafından gerilmiş paralelotopun hacmini veren, üç boyutlu olarak vektörlerin skalar üç çarpımı büyüklüğü olarak, yüzleri verilen vektörler k boyutlu paralelyüz hacmidir.Hermann Grassmann sonrası dış cebir veya Grassmann cebiri ^[4] olan dış çarpım ürünü cebirsel sistemdir.Dış cebir geometrik soruları cevaplamak için bir cebirsel ortam sağlar. Bıçaklar somut geometrik yoruma sahipken örneğin, dış cebir nesneleri net bir kurallar kümesine göre manipüle edilebilir.Dış cebir sadece k-bıçak olmayan nesneleri içerir, ancak k-bıçakların toplamı; Böyle bir toplam, bir k-vektör olarak adlandırılır.^[5] k-bıçaklar, bu vektörlerin basit çarıpımları olduğu için, cebir elemanları basit olarak adlandırılır. Herhangi bir k-vektörünün sıralaması bir toplamı olan basit elemanlarının küçük sayısı olarak tanımlanır. Bu cebirin herhangi iki ögesini çarpmak mantıklı olur böylece dış çarpım, tam bir dış cebire kadar uzanır. Bu çarpım ile donatılmış, dış cebir ki herhangi bir α, β, γ öğe için α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ demektir birleşmeli cebir dir.k-vektörlerinin k-çarpımları toplamı olduğu anlamına gelen, k-derecesi vardır. Farklı derecelerde ögeleri ile çarpılır olduğunda, polinomların derece çarpımı kadar derece ekleyebilirsiniz. Bu dış cebirin bir kademeli cebir olduğu anlamına gelir.Kesin bir anlamda, bir genel kurulum olarak bilinirliği ile verilen, dış cebir vektörleri üzerinde bir alternatif çarpımı destekleyen en büyük cebir ve kolayca, tensörler gibi bilinen diğer nesneler açısından da tanımlanabilir.Dış cebirin tanımı sadece geometrik vektörleri alanlar için mantıklı değildir, ama bu tür vektör alanları ve fonksiyonlar gibi diğer vektör gibi nesneler içinde mantıklıdır. Tam bir genellik içinde,dış cebir değişmeli halka üzerinde modüller için tanımlanmış, ve soyut cebirin ilgi duyulan diğer yapılar içinde olabilir. Bu dış cebir, diferansiyel geometriyi kullanan alanlarda temel olan diferansiyel formların cebiri gibi görünen en önemli uygulamalardan birini bulur ki bu genel yapılarından biridir. Diferansiyel formlar sonsuz paralelkenarlar (ve daha yüksek-boyutlu cisimler) sonsuz-küçük bölgelerini temsil eder, ve böylece calculus'den çizgi integrallere genelleştirilerek bir şekilde yüzeyler ve yüksek boyutlu manifoldlar üzerinde entegre edilebilir matematiksel nesnelerdir.Dış cebirin ayrıca cebirin kendisini uygun bir araç olarak oluşturan birçok cebirsel özellikleri vardır. Bir vektör alanı dış cebri birleşimli vektör uzaylarının lineer dönüşümleri ile belli bir şekilde uyumlu olduğu anlamına gelen, vektör uzaylar üzerinde funktorün bir türüdür.Dış cebirin kendi dual uzayı da bir çarpıma sahiptir, yani bir bicebir örneklerinden biridir ve bu ikili çarpım dış çarpım ile uyumludur. Bu ikili cebir tam  V çoklu doğrusal formları alternatif cebir ve dış cebir ve çift iç çarpım ile arasında verilen eşleştirmedir.

Alıştırma örnekleri

Düzlemde bölge

Kendi noktaların ikisinin koordinatlarının matrisinin determinantlarının terimleri içinde bir paralelkenarın bölgesi.

Kartezyen düzlem R² birim vektörlerin bir çifti bir tabanları ile oluşan bir vektör uzayıdır

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Varsayalımki

${\displaystyle {\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2},\quad {\mathbf {w} }={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2}}$

R² içinde verilen vektörlerin bir çiftidir, bileşenlerin içinde yazılır. Burada bir teklik paralelkenar yüzlerinden ikisi olarak v ve w var.Paralelkenarın bölgesi standard determinant formülü ile veriliyor:

${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det {\begin{bmatrix}{\mathbf {v} }&{\mathbf {w} }\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}$

v ve wnin dış çarpımı şimdi düşünülebilir :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {w} }&=(a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2})\wedge (c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2})\\&=ac{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+ad{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}+bc{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+bd{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\\&=(ad-bc){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\end{aligned}}}$

Burada dış çarpım için dağılma kanunu ilk adımdır, ve son olarak dış çarpım olduğu gerçeğini de alternatif olarak kullanır, ve özel olarak e₂ ∧ e₁ = −e₁ ∧ e₂.Bu son ifadedeki katsayının matrisin tam determinantı olduğunu unutmayın [v w].Bu pozitif veya negatif olabilir gerçeğinin sezgisel anlamı vardır bu v ve wyi tanımlayan paralelkenarın köşeleri gibi bir saat yönünün tersine veya saat yönünde anlamına odaklı olabilir.İşaretli bölgenin mutlak değeri sıradan alanı ve işaret yönünü belirler: Bu tür bir alan paralelkenarın işaretli bölgesi olarak adlandırılır Bu katsayı gerçeği işaretli bölgesi bir tesadüf değildir. Aslında, bir bir cebirsel yapı olarak bu alanı aksiyomatize çalıştığında dış çarpım işaretli bölge ile ilgili olması gerektiğini görmek nispeten kolaydır. Bir A(v, w) vektörleriv ve w, çifti tarafından belirlenen paralelkenarın işaretli bölgesi temsil etmesi durumunda ayrıntılı olarak, bu durumda A, aşağıdaki özelliklere uygun olmalıdır:

1. j ve k herhangi gerçek sayıları için A(jv, kw) = j k A(v, w), her iki taraftan da aynı miktarda bölgeyi yeniden ölçeklendirilir yeniden ölçeklendirme (ve kenarlarından biri yönünün tersine paralelkenarın yönünü tersine çevrilmesi) bağlamında.
2. A(v,v) = 0, v ile belirlenen dejenere paralelkenarın bölgesi bağlamında (yani, bir doğru parçası) sıfırdır.

1. A(w,v) = −A(v,w), v ve w paralel kenarın rolleri değişimci bağlamında yönünü tersine çevirir.
2. A(v + jw,w) = A(v,w),j gerçeği için,v için wnin bir bir çoğulu eklemesinden ne yakın tabanı etkiler nede paralelkenarın yüksekliği ve sonuç olarak bu bölge korunur

1. A(e₁, e₂) = 1, birim karenin bölgesi bağlamında tektir.

Son özelliği hariç tutulmak üzere, dış çarpım bölge olarak aynı resmi özellikleri sağlamaktadır.Belli bir anlamda, dış çarpım herhangi bir "standart" seçilmiş paralelkenarının karşılaştırılması gereken bir paralelkenarın alanını sağlayan nihai özelliği genelleştirmektedir (burada,e₁ ve e₂ tarafı ile). Diğer bir deyişle, iki boyutta çarpım dış bölgenin bir temele formülasyonunu sağlar. Diğer bir deyişle, iki boyutta dış çarpım bölgenin bir taban bağımsız formülasyonunu sağlar.^[6]

Çapraz ve üçlü çarpımlar

dış çarpım ile ilgili olarak Çapraz çarpım (mavi vektör) (açık mavi paralelkenar). Çapraz çarpımın uzunluğu dış çarpımın büyüklüğü olarak paralel birim vektörün (kırmızı) uzunluğu içindir kaynak paralelkenarın büyüklüğü içindir (açık kırmızı).

R³ içindeki vektörler için,dış cebir çapraz çarpım ve üçlü çarpım yakın ilişkilidir {e₁, e₂, e₃} standart tabanları kulanılıyor,vektörlerin bir çiftinin dış çarpımı

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

ve

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

dir

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

Burada {e₁ ∧ e₂, e₃ ∧ e₁, e₂ ∧ e₃} Üç boyutlu uzaydaki taban Λ²(R³)dır.Katsayılar yukarıdaki üç boyutlu vektörlerin çapraz çarpımının olağan tanımı içinde aynıdır,tek fark dış çarpım sıradan bir vektör değildir , bunun yerine 2-vektörüdür.

Üçüncü bir vektör getirerek

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

Üç vektörlerin dış çarpımı

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

Burada e₁ ∧ e₂ ∧ e₃ tek boyutlu uzay için taban vektör Λ³(R³)dür.Skalar katsayısı üç vektörlerin üçlü çarpımıdır

Üç boyutlu her çapraz çarpım ve üçlü çarpım hem geometrik ve hem de cebirsel yorumları kabul ediyor.Çapraz çarpım u × v bir vektör olarak karşılaştırılabilir,bu u ve v herikisine dik ve böylece büyüklük iki vektör ile belirlenen paralelkenarın bölgesine eşittir. Bu u ve v sütunları ile matrisin minörlerinin oluşturduğu vektör olarak karşılaştırılabilir,u, v nin üçlü çarpımları,ve w geometriksel bir (işaret) hacimdir. Cebrik olarak, bu u, v, ve w sütunlarının matrisinin determinantıdır.Üç boyutlarda dış çarpım benzer karşılaştırmalar için sağlanır. Aslında, ortogonal tabanın pozitif yönlendirilmiş varlığında, dış çarpımın yüksek boyutlara bu kavramları genelleştirilmiştir.

Resmi tanımlar ve cebrik özellikler

bir K alanı üzerinde bir V vektör uzayı üzerinde Λ(V) dış cebri formunun tüm ögeleri ile üretilen iki taraflı ideal I ile tensör cebirinin bölme cebiri olarak tanımlanıyor,böylece x ∈ V.^[7] Sembolik olarak,

${\displaystyle \Lambda (V):=T(V)/I.\,}$

Λ(V) nin ögelerinin iki dış çarpım ∧ şöyle tanımlanıyor

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}},}$

burada mod I olağan şekilde tensör çarpımı yapmak anlamına gelir ve o zaman sıfır olan ideal içinde tensör cebrinin her elemanı açıklanır.

Dış cebirin karşıtdeğişmeliliği

Dış cebir V nin ögeleri üzerinde karşıtlılığın,her x ∈ V için anlamı x ∧ x = 0. şu x, y ∈ V varsayım için,eğer aşağıdaki dış çarpımlar V nin üzerinde ayrıca karşıtdeğişmeli ise

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

Dolayısıyla

${\displaystyle x\wedge y=-y\wedge x.}$

Tersine,aşağıdaki bu çarpımın karşıtdeğişmeliliğinden şu çarpım karşıtlıdır,'K olmadıkça karakteristik iki var.

Daha da geneli, eğer x₁, x₂, ..., x_k 'V nin ögeleridir, ve σ [1,...,k] tamsayılarının bir permutasyonu, ise

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \dots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn} (\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \dots \wedge x_{k},}$

sgn(σ)'de permutasyonun işareti σ'dır.yani bu yukarıda b işaretin fonksiyonudur^[8]

Dış kuvvet

Vnin kinci dış kuvveti,Λ^k(V) ifadesi, formunun ögeleri ile Λ(V) germenin vektör altuzayıdır

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \dots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

Eğer α ∈ Λ^k(V), ise α'nın bir k-vektör olduğu söyleniyor. Eğer, ayrıca, α,V nin k ögelerinin bir çarpımı olarak ifade edilebiliyorsa, çözünemez olduğu söyleniyor isede Λ^k(V)'nın her ögesi çözünemez değildir.Örneğin,R⁴ de aşağıdaki 2-vektör çözünemez değildir:

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

(α ∧ α ≠ 0.^[9] bağlamında Bu aslında bir simplektik form'dur.)

Taban ve boyut

Eğer V nin boyutu n ve {e₁,...,e_n} V 'nin bir taban kümesi ise

${\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$

Λ^k(V) için bir tabandır. nedeni aşağıdadır: formun herhangi bir dış çarpımı

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}$

ardından her bir vektör v_j 'ler taban vektörleri e_i'nin bir doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir;Dış çarpımın çiftdoğrusallığı kullanılarak,bu taban vektörlerin dış çarpımları doğrusal bir kombinasyona genişletilebilir.Aynı taban vektörü birden fazla göründüğü herhangi bir dış çarpım sıfırdır;taban vektörleri doğru sırayla görünmüyor hangi bir dış çarpım iki taban vektörleri yer değiştirdiklerinde işaret değiştirerek, yeniden sıralanmış olabilir. Genel olarak, taban k-vektörlerinin sonuçtaki katsayıları baz e_i 'nin açısından vektörler v_j tanıtım matrisinin minörleri olarak hesaplanabilir.

Λk (V) 'in boyutu taban elemanları sayılınca binom katsayısına eşittir:

${\displaystyle \operatorname {dim} (\Lambda ^{k}(V))={\binom {n}{k}}}$

Özel olarak, Λ^k(V) = {0} ,k > n için

dış cebirin herhangi ögesi k-vektörlerininbir toplamı olarak yazılabilir . Bu nedenle, bir vektör uzayı olarak dış cebir direkt toplamdır

${\displaystyle \Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)}$

(burada Λ⁰(V) = K ve Λ¹(V) = V) kuralı ile, ve bunun için bu boyut binom katsayılarının toplamına eşittir, bu 2ⁿ dir

Bir k-vektör'ün rankı

Eğer α ∈ Λ^k(V), ise onu ayrıştırılamıyan k-vektörlerin bir doğrusal olarak α ile ifade etmek mümkündür:

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

burada her α⁽ⁱ⁾ ayrıştırılamaz, demekki

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\dots ,s.}$

k-vektör'ün α'sı α.nın bir açılımı gibi k-vektörler çözünebilirlerin en küçüğüdür.Bu tensor rankının kavramına benzerdir.

Rank 2-vektörlerin çalışmaları içinde özellikle önemlidir Sternberg 1974, §III.6 Bryant et al. 1991.Bir 2-vektörün rankı α bir taban α'nın katsayılarının matrisinin rankı nın yarısı ile belirlenebilir.Böylece eğer e_i i V bir taban ,ise α teklik olarak ifade edilebilir

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

burada a_ij = −a_ji (katsayıların matrisi çarpık-simetriktir).Matris a_ij nın rankı bunun için çifttir, ve form α'nın iki rankıdır.

karakteristik 0'da,2-vektör α rank p ancak ve ancak var

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\not =0}$

ve

${\displaystyle {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Kademeli yapı

bir kez daha çiftdoğrusallık çağrılırken,bir p-vektörü ile bir k-vektör dış çarpımı bir (k+p)-vektördür. Sonuç olarak, bir önceki kısmın doğrudan toplam ayrışması şöyle

${\displaystyle \Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)}$

bir kademeli cebirin ek bir yapısı dış cebir verir. sembolik olarak

${\displaystyle \left(\Lambda ^{k}(V)\right)\wedge \left(\Lambda ^{p}(V)\right)\subset \Lambda ^{k+p}(V).}$

Ayrıca, dış çarpım serilenir karşıtdeğişmelidir, bunun anlamı eğer α ∈ Λ^k(V) ve β ∈ Λ^p(V),ise

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Dış cebir, kademeli yapı çalışmalarının yanı sıra, Bourbaki (1989)Bu tür dış cebir üzerinde bir kademeli modulü olanlar gibi dış cebirlerin üzerinde çalışmalar ek kademeli yapıları, (zaten kendi tonlamasını taşıyan bir modül).

Evrensel özellikler

Diyelimki V K alanı üzerinde bir vektör uzayıdır. Resmi olmayan, Λ(V) içinde çarpım is performed by manipulating symbols ve imposing bir dağılma kanunu, bir birleşme kanunu, ve v ∈ V için v ∧ v = 0 denkliği kullanılıyor. Resmi olarak, Λ(V) "daha genel" cebir içinde çarpım için bu kural tutar,V'nin üzerinde karşılıklı çarpım ile V içeren herhangi birimsel birleşmeli K-cebri anlamında Λ(V)'nin homomorfik görüntüsünü içermesi gerekir.Diğer bir deyişle, dış cebir aşağıdaki genel özelliklere sahiptir.:^[10]

V'nin üzerinde karşılıklı çarpım ile V içeren herhangi birimsel birleşmeli K-cebri anlamında Λ(V)'nin homomorfik görüntüsünü içermesi gerekir.

Verilen herhangi birimsel birleşmeli K-cebri A ve herhangi K-doğrusal eşleme j : V → A böylece V içinde her v çin j(v)j(v) = 0, ise burada tam bir birimsel cebir homomorfizmi var f : Λ(V) → A böylece V içinde tüm v için j(v) = f(i(v)).

V içeren en genel cebiri kurulur ve bu çarpma V üzerinde alternatiftir, bu V içeren en genel cebir tensör cebiri T(V) ve sonra uygun bir katsayı alarak alternatif özelliğini uygulamak ile başlamak için doğaldır,. Biz böylece V'deki v formu v⊗v tüm ögeleri tarafından üretilen T(V) iki yüzlü ideal I yı alıyoruz, ve Λ(V) katsayı gibi tanımlanabilir.

${\displaystyle \Lambda (V)=T(V)/I\ }$

(ve Λ(V) içinde çarpım için sembol olarak ∧ kullanılır ). Bu V içeriğini göstermek için ise Λ(V) ve yukarıdaki genel özellikler karşılaştırılır

Bu yapının bir sonucu olarak, bir vektör uzayı V onun dış cebir Λ(V) atama işlemi cebir kategorisine vektör uzaylarının kategorisinden bir funktordur

Aksine Λ(V), ilk tanımlayan ve daha sonra Λ^k(V) gibi bazı alt uzay dış kuvvetler belirlenmesi yerine, bir alternatif olarak Λ(V) cebri'nin bunları birleştiren ilk Λ^k(V)' uzaylarında tanımlayabiliriz.Sıklıkla Bu yaklaşım genellikle diferansiyel geometride kullanılan ve bir sonraki bölümde açıklanmıştır.

Genellemeler

Değişmeli halka R ve 'R-modül M göz önüne alındığında, Bu tensör cebiri T(M) için uygun bir bölümü olarak, tıpkı yukarıdaki dış cebir Λ(M) gibi tanımlanabilir. Bu benzer evrensel özelliği karşılayacaktır.Λ(M) özelliklerinin çoğu, M in bir izdüşümsel modül olmasını gerektirir. Sonlu boyut kullanıldığında, M özellikleri daha da sonlu üreteç oluşturulur ve izdüşüm gerektirir.Birçok durumda bu genellemeler Bourbaki 1989 da bulunabilir.

Vektör demetlerinin dış cebiri sık sık geometri, topoloji ve de dikkate alınır.Serre-Swan teoremi ile sonlu boyutlu vektör demetleri ve sonlu üretilen yansıtmalı modüllerin dış cebir olanların dış cebir cebirsel özellikleri arasında önemli farklılıklar vardır. Daha genel dış cebiri modüllerinin demetleri için tanımlanabilir.

Funktorallik

Varsayalım V ve W vektör uzayının bir çifti ve f : V → W bir doğrusal dönüşümüdür.o zaman, evrensel kurulum ile, burada kademeli cebirin bir teklik homomorfizmi var

${\displaystyle \Lambda (f):\Lambda (V)\rightarrow \Lambda (W)}$

böylece

${\displaystyle \Lambda (f)|_{\Lambda ^{1}(V)}=f:V=\Lambda ^{1}(V)\rightarrow W=\Lambda ^{1}(W).}$

Özel olarak, Λ(f) homojen derece korunur.Λ(f)in k-kademeli bileşenleri

${\displaystyle \Lambda (f)(x_{1}\wedge \dots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \dots \wedge f(x_{k}).}$ ile çözünebilir ögeler üzerinde veriliyor

Diyelimki

${\displaystyle \Lambda ^{k}(f)=\Lambda (f)_{\Lambda ^{k}(V)}:\Lambda ^{k}(V)\rightarrow \Lambda ^{k}(W).}$

V ve W nin bir tabanı için göreli dönüşüm Λ(k)nın bileşenleri k × kfnin minörleri k × knin matrisidir. Özel olarak, eğer V = W ve V nin sonlu boyutlu , ise Λⁿ(f) ,kendisi için Λⁿ bir tek- boyutlu vektör uzayının bir eşlemesidir, ve fnin determinantı bunun için bir skaler ile veriliyor.

Tamlık

Eğer

${\displaystyle 0\rightarrow U\rightarrow V\rightarrow W\rightarrow 0}$

vektör uzayının bir kısa tam dizi,ise

${\displaystyle 0\to \Lambda ^{1}(U)\wedge \Lambda (V)\to \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (W)\rightarrow 0}$

Kademeli vektör uzayının tam bir dizisidir^[11] as is

${\displaystyle 0\to \Lambda (U)\to \Lambda (V).}$^[12]

Direkt toplam

Özel olarak,bir direk toplamın dış cebiri dış cebirlerin tensör çarpımları için izomorfiktir:

${\displaystyle \Lambda (V\oplus W)\cong \Lambda (V)\otimes \Lambda (W).}$

Bu durum kademeli izomorfizmdir; yani,

${\displaystyle \Lambda ^{k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}\Lambda ^{p}(V)\otimes \Lambda ^{q}(W).}$

Biraz daha genel, eğer

${\displaystyle 0\rightarrow U\rightarrow V\rightarrow W\rightarrow 0}$

vektör uzayının bir kısa tam dizisi Λ^k(V) ise bir süzme var

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \dotsb \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}=\Lambda ^{k}(V)}$

ile bölüm :${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}=\Lambda ^{k-p}(U)\otimes \Lambda ^{p}(W)}$. Özel olarak, eğer U 1-boyutlu ise

${\displaystyle 0\rightarrow U\otimes \Lambda ^{k-1}(W)\rightarrow \Lambda ^{k}(V)\rightarrow \Lambda ^{k}(W)\rightarrow 0}$

tamdır, ve eğer W is 1-boyutlu ise

${\displaystyle 0\rightarrow \Lambda ^{k}(U)\rightarrow \Lambda ^{k}(V)\rightarrow \Lambda ^{k-1}(U)\otimes W\rightarrow 0}$

tamdır.^[13]

Ayrıca bakınız

• Simetrik cebir,simetrik analog
• Clifford cebiri,bir karesel form ile dış cebirin bir kuantum deformasyonu
• Weyl cebri, bir simplektik form ile simetrik cebirin bir kuantum deformasyonu
• Çokludoğrusal cebir
• Tensör cebiri
• Geometrik cebir
• Koszul kompleksi

Notlar

1. R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1. 
2. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. s. 83. ISBN 0-7167-0344-0. 
3. Strictly speaking, the magnitude depends on some additional structure, namely that the vectors be in a Euclidean space. We do not generally assume that this structure is available, except where it is helpful to develop intuition on the subject.
4. Şablon:Harvcoltxt introduced these as extended algebras (cf. Clifford 1878). He used the word äußere (literally translated as outer, or exterior) only to indicate the produkt he defined, which is nowadays conventionally called exterior product, probably to distinguish it from the outer product as defined in modern linear algebra.
5. The term k-vector is not equivalent to and should not be confused with similar terms such as 4-vector, which in a different context could mean a 4-dimensional vector. A minority of authors use the term k-multivector instead of k-vector, which avoids this confusion.
6. This axiomatization of areas is due to Leopold Kronecker and Karl Weierstrass; see Bourbaki (1989, Historical Note). For a modern treatment, see Mac Lane & Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2). For an elementary treatment, see Strang (1993, Chapter 5).
7. Bu standart bir tanımdır. Örneğin, bakınız, Mac Lane & Birkhoff (1999).
8. A proof of this can be found in more generality in Bourbaki (1989).
9. See Sternberg (1964, §III.6).
10. See Bourbaki (1989, III.7.1), and Mac Lane & Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8). More detail on universal properties in general can be found in Mac Lane & Birkhoff (1999, Chapter VI), and throughout the works of Bourbaki.
11. daha büyük genellik içinde ayrıca tutula durumların bu kısmı eğer V ve W bir değişmeli halka üzerinde modüldür: Bu Λ epimorfizmler için epimorfizmler dönüşümüdür. Bak Bourbaki (1989, Proposition 3, III.7.2).
12. Bu durum burada yalnızca V ve W durumu için bir değişmeli halka üzerinde izdüşümsel modüldür. Diğer bir değişle, bu durum genel değil bu Λ monomorfizmlar için monomorfizmleri dönüştürür.Bakınız Bourbaki (1989, Corollary to Proposition 12, III.7.9).
13. Such a filtration also holds for vector bundles, and projective modules over a commutative ring. This is thus more general than the result quoted above for direct sums, since not every short exact sequence splits in other abelian categories.

Kaynaklar

Matematiksel kaynaklar

• Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6 

Includes a treatment of alternating tensors and alternating forms, as well as a detailed discussion of Hodge duality from the perspective adopted in this article.

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 

This is the main mathematical reference for the article. It introduces the exterior algebra of a module over a commutative ring (although this article specializes primarily to the case when the ring is a field), including a discussion of the universal property, functoriality, duality, and the bialgebra structure. See chapters III.7 and III.11.

• Bryant, R.L.; Chern, S.S.; Gardner, R.B.; Goldschmidt, H.L.; Griffiths, P.A. (1991), Exterior differential systems, Springer-Verlag 

This book contains applications of exterior algebras to problems in partial differential equations. Rank and related concepts are developed in the early chapters.

• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999), Algebra, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2 

Chapter XVI sections 6–10 give a more elementary account of the exterior algebra, including duality, determinants and minors, and alternating forms.

• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry, Prentice Hall 

Contains a classical treatment of the exterior algebra as alternating tensors, and applications to differential geometry.

Tarihi kaynaklar

• Bourbaki, Nicolas (1989), "Historical note on chapters II and III", Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag 
• Clifford, W. (1878), "Applications of Grassmann's Extensive Algebra", American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 1 (4): 350–358, DOI:10.2307/2369379, JSTOR 2369379 
• Forder, H. G. (1941), The Calculus of Extension, Cambridge University Press 
• Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik, http://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik  (The Linear Extension Theory – A new Branch of Mathematics) alternative reference
• Kannenberg, Lloyd (2000), Extension Theory (translation of Grassmann's Ausdehnungslehre), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2031-1 
• Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva ; Kannenberg, Lloyd (1999), Geometric calculus: According to the Ausdehnungslehre of H. Grassmann, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4126-9 .
• Whitehead, Alfred North (1898), a Treatise on Universal Algebra, with Applications, Cambridge, http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=01950001&seq=5 

Diğer kaynaklar ve daha fazli bilgi

• Browne, J.M. (2007), Grassmann algebra – Exploring applications of Extended Vector Algebra with Mathematica, Published on line 

An introduction to the exterior algebra, and geometric algebra, with a focus on applications. Also includes a history section and bibliography.

• Spivak, Michael (1965), Calculus on manifolds, Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-9021-6 

Includes applications of the exterior algebra to differential forms, specifically focused on integration and Stokes's theorem. The notation Λ^kV in this text is used to mean the space of alternating k-forms on V; i.e., for Spivak Λ^kV is what this article would call Λ^kV*. Spivak discusses this in Addendum 4.

• Strang, G. (1993), Introduction to linear algebra, Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5 

Includes an elementary treatment of the axiomatization of determinants as signed areas, volumes, and higher-dimensional volumes.

• Onishchik, A.L. (2001), "Exterior algebra", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/E/e037080.htm 
• Wendell H. Fleming (1965) Functions of Several Variables, Addison-Wesley.

Chapter 6: Exterior algebra and differential calculus, pages 205–38. This textbook in multivariate calculus introduces the exterior algebra of differential forms adroitly into the calculus sequence for colleges.

• Winitzki, S. (2010), Linear Algebra via Exterior Products, Published on line 

An introduction to the coordinate-free approach in basic finite-dimensional linear algebra, using exterior products.

• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9. http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9. 

Chapter 10: The Exterior Product and Exterior Algebras

• "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of English translations of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of exterior algebra to projective geometry
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" An English translation of an early book on the geometric applications of exterior algebras
• "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" An English translation of one Grassmann's papers on the applications of exterior algebra