Clifford cebiri

Matematikte, Clifford cebirleri birleşmeli cebirin bir tipidir.K-cebirleri olarak,bu gerçek sayılar, karmaşık sayılar, dördeyler ve birkaç birkaç öte-karmaşık sayı sistemlerinin genelleştirilimesidir.^[1][2] Clifford cebrinin teorisi karesel formlar ve ortogonal dönüşümlerin teorisi ile yakından bağlantılıdır. Clifford cebirlerinin geometri, teorik fizik ve sayısal görüntü işleme alanlarının farklı önemli uygulamalarını içerir. İsmi ingiliz geometrici William Kingdon Clifford adına ithaf edilmişitir .

En bilindik Clifford cebri, veya ortogonal Clifford cebri, Riemannian Clifford cebri olarak da adlanırılır.^[3]

Giriş ve temel özellikleri

Bir Clifford cebri bir birimsel birleşmeli cebir içerir ve bir K alanı üzerinde bir V vektör uzayı ile üretilir, burada V bir kuadratik form Q ile donanımlıdır.Clifford cebri Cℓ(V, Q) durumu için V öznesi ile "serbest" cebir üretiyor ^[4]

${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ {\text{ tüm }}v\in V}$ için

burada sol üzerindeki çarpım ve burada 1 çarpım birimi dir

bir Clifford cebrinin tanımı bir "çıplak" K-cebri daha fazla yapı ile verilir: özellikle onun bir tasarımı var veya ayrıcalıklı alt uzay V için izomorfiktir.sadece Clifford cebrine izomorf verilen K-cebiri  böyle bir alt uzay genel içinde teklik belirleyemez.

Eğer temel alan K nin karakteristiği 2 değil, ise formu içinde bu temel denklik yazılabilir

${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ tüm }}u,v\in V}$ için

burada

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$

Q ile ilişkili simetrik çiftdoğrusal formdur ,polarizasyon denkliği yoluyla, "serbest" veya bu denklik için cebirsel öznelerin "en genel" olma fikri bir evrensel özelliğinin kavramı yoluyla aşağıdaki veri olarak resmi olarak ifade edilebilir.

Kuadratik formlar ve Clifford cebirler karakteristik 2 form içinde olağanüstü bir durumdur.Özel olarak, eğer char(K) = 2 bu doğru değilse bu kuadratik form bir simetrik çiftdoğrusal form ile belirlenir, veya söz konusu her karesel form bir ortogonal taban kabul eder.Bu yazıda birçok durumlar bu karaktersitik durum 2 içermez, ve eğer yanlış ise bu durum kaldırılır.

Dış cebirin bir nicemlemesi

Clifford cebri dış cebirler ile yakın ilişkilidir. Aslında, eğer Q = 0 ise Clifford cebri Cℓ(V, Q) sadece dışsal cebir Λ(V)dır. sıfırsız Q için burada bir kurallı doğrusal izomorfizm var. Λ(V) ve Cℓ(V, Q) arasında olduğunda temel alan K karakteristik iki bulunmamaktadır. Şöyleki, bu doğal izomorfik vektör uzaylar olarak, ama farklı çarpımlar (karakteristik ikinin durumu içinde, bu vektör uzayları olarak yine izomorfiktir, sadece doğal değildir) iledir.Ayrıcalıklı altuzay ile birlikte Clifford çarpımı kesinlikle daha zengin dışsal çarpımla Q tarafından ekstra bilgi sağlamanın yapımında kullanılır

Daha kesin bir ifadeyle, Clifford cebri dışsal cebirin nicemlemesi (bkz. Kuantum grup) olarak düşünülebilir, aynı mantıkla Weyl cebride simetrik cebirin bir nicemlemesidir.

Weyl cebri ve Clifford cebri bir *-cebirin bir başka yapısını kabul eder, ve bir süper cebirin çift ve tek terimleri olarak birleştirilebilir, CCR ve CAR cebirleri içinde tartışıldığı gibi .

Evrensel özellikler ve kurulum

Diyelimki V vektör uzayı bir K alanı üzerinde olsun, ve diyelimki çoğu durumda K ilgili alanının ya da R gerçek sayılar veya C karmaşık sayılar alanının veya bir sonlu alanın Q: V → K V üzerinde bir karesel formları olsun;

Bir Clifford cebri Cℓ(V, Q) aşağıdaki evrensel özellikler ile birlikte tanımlanan tüm v ∈ V, için i(v)² = Q(v)1nin karşıladığı i : V → Cℓ(V, Q) bir doğrusal gönderme ile birlikte K üzerinde bir birimsel birleşmeli cebirdir ve evrensel özellikler aşağıdaki gibi tanımlanıyor : K üzerinde verilen herhangi asosiyatif cebir A ve herhangi doğrusal gönderme j : V → A böylece

j(v)² = Q(v)1_A tüm v ∈ V

için(burada 1_A A nin ifadesi çarpım birimidir),burada bir teklik cebrik homomorfizmi f : Cℓ(V, Q) → A ve böylece aşağıdaki sırabağımsız diyagramı (yani böylece f ∘ i = j):

Q nun yerine j üzerinde gerekli bir simetrik çiftdoğrusal form <·,·> ile çalışılıyor (karakteristik içinde 2 değildir),

${\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=2\langle v,w\rangle 1_{A}\quad {\mbox{ for all }}v,w\in V\ .}$dir

Bir Clifford cebirinin yukarda tanımı her zaman var ve aşağıdaki gibi kurulabilir: ve alınan uygun bir bölüm ile temel denklik zorlanırsa V içeren en genel cebir ile yani T(V) tensör cebiri ile başlar T(V) içinde iki-yüzlü ideal I_Q almak istediğimiz tüm bu durum içinde formun tüm ögeleri ile üretilir

${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$ tüm ${\displaystyle v\in V}$ için

ve Cℓ(V, Q) bölüm cebri olarak tanımlanır

Cℓ(V, Q) = T(V)/I_Q.

bu bölümde devralınan halka çarpım bu iç ve dış çarpımlardan farklılaştığı için bazen Clifford çarpımı^[5] olarak adlandırılır.Bu Cℓ(V, Q) 'i göstermek ise basittir V içeren ve yukardaki evrensel özellik elde edilir, böylece Cℓ teklik bir teklik izomorfizmi kadardır;böylece Cℓ(V, Q)  Clifford cebrinin konuşmasıdır. Ayrıca bu kurulumdan aşağıda i birimseldir Genellikle i düşer ve Cℓ(V, Q) nin bir doğrusal altuzayı olarak V düşünülebilir

Cℓ(V, Q) nin kurulumunda gösterilen bu Clifford cebrinin evrensel karakterizasyonu doğal içinde funktoriyal'dir Yani, Cℓ vektör uzaylarının kategorisinden(Kendilerinin morfizmlerinin karesel formunu koruyan çizgisel haritalardır) birleşmeli cebirin kategorisi için kuadratik formlar ile birlikte bir funktor olarak düşünülebilir. Evrensel özelliklerin garantileri bu doğrusal göndermelerle vektör uzayları(karesel formunu koruyarak) arasında genişletilen cebir homomorfizmler için teklik ile birleşmeli Clifford cebri arasındadır.

Taban ve boyut

Eğer K üzerinde V nin boyutu n ve {e₁, …, ve e_n} ve (V, Q) nun bir ortogonal tabanı , ise Cℓ(V, Q) bir taban ile K üzerinde serbesttir

${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\mbox{ ve }}0\leq k\leq n\}}$.

Boş çarpım (k = 0) çarpımsal özdeş öge olarak tanımlamıyor. Burada k nin her değeri için taban ögeler n seç k dır , böylece Clifford cebrinin toplam boyutu

${\displaystyle \dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=2^{n}.}$

Bu bağlamda V bir karesel form ile donanım alır, burada ortogonal olanlar V için ayrıcalıklı tabanlarının bir kümesidir:Bir ortogonal taban şu şekildedir,

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ için ${\displaystyle i\neq j}$, ve ${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).\,}$

burada ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$ Q için birleşmeli simetrik çiftdoğrusal formdur.Temel Clifford denkliği bir ortogonal taban için şöyle vurgulanır

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$ için ${\displaystyle i\neq j}$, ve ${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i})\,}$

Bu ortogonal taban vektörleri manipülasyonu oldukça basittir.farkının verilen bir ${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$ çarpımı V nin ortogonal taban vektörleri,dahil ederken bir standart düzen içine koyabilirsiniz.Bunu yapmak için (yani permutasyon sırasının işareti) ikili takaslarının sayısı ile belirlenen genel bir işaret gerekir

Örnekler: Gerçek ve karmaşık Clifford cebri

Daha önemlisi Clifford cebirleri böylece gerçek ve karmaşık vektör uzayları üzerinde dejenere olmayan kuadratik formlar ile donanımlı vektör uzaylarıdır

Cℓ_p,q(R) ve Cℓ_n(C) cebirlerinin her bir çıkışı ,A veya A⊕A,için izomorfiktir, burada A , R, C, veya H dan giriş ile bir tam matris halkasıdır Bu cebirlerin tam bir sınıflandırması için Clifford cebrinin sınıflandırılmasına bakınız

Gerçek sayılar

Gerçek Clifford cebrinin geometrik yorumlaması geometrik cebir olarak biliniyor

Sonlu-boyutlu reel vektör uzayda her dejenere olmayan karesel form standart diyagonal forma eşdeğerdir:

${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\cdots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\cdots -v_{p+q}^{2}}$

burada n = p + q vektör uzayının boyutudur. Tamsayıların çifti (p, q)ne karesel formun işareti denir.Gerçek vektör uzayı ile bu karesel form sıklıkla R^{p, q}.ile ifade edilir. R^{p, q} üzerinde Clifford cebri Cℓ_{p, q}(R) ile ifade ediliyor.Cℓ_n(R) sembolü ya Cℓ_n,0(R) veya Cℓ_0,n(R) pozitif tanımlı veya negatif tanımlı uzayın yazar tercihine bağlı olup olmadığı anlamındadır.

Bir standard ortonormal taban {e_i} R^p,q için n = p + q nın oluşturduğu karşılıklı olarak ortogonal vektörler ve bunların p norm +1 ve q norm −1'i var. Cebir Cℓ_p,q(R) nin bunun için +1 için p kare vektörleri ve −1 için q kare vektörleri var olacaktır

Unutmadan Cℓ_0,0(R) is R için doğal izomorfik bağlamında burada sıfırsız olmayan vektörler Cℓ_0,1(R) dir ve bir iki-boyutlu cebir bir tek vektör e₁ ile üretiliyor ve −1 için bu kareler ve karmaşık sayıların alanı C izomorfiktir,Cℓ_0,2(R) cebiri bir dört-boyutlu cebri {1, e₁, e₂, e₁e₂} ile gerer. −1 için üç kare öge sonrası ve tüm karşıtdeğişme, ve böylece cebir , dördeyler için H izomorfiktir Cℓ_0,3(R) bir 8-boyutlu cebir izomorfik ve H ⊕ H direkt toplamına ayrık-çiftdördeyler denir

Karmaşık sayılar

Bir de karmaşık vektör uzaylarda Clifford cebirlerini inceleyebiliriz.Her dejenere olmayan bir karmaşık vektör uzayı üzerinde karesel form standard diyagonal form için eşdeğeri

${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}$

burada n = dim V,izomorfizm kadardır. yani burada n her boyut için yalnızca tek dejenere olmayan Clifford cebridir. Cℓ_n(C) standard karesel form ile Cⁿ üzerinde Clifford cebri ile ifade edilecek

İlk birkaç durumu hesaplamak zor değildir. şunlar bulunur

Cℓ₀(C) ≅ C, karmaşık sayılar

Cℓ₁(C) ≅ C ⊕ C, çiftkarmaşık sayılar

Cℓ₂(C) ≅ M(2, C), çiftdördeyler

burada M(n, C) C üzerinde n×n matrislerinin cebri ifadesidir

Örnekler:dördeylerin kurulumu ve ikili dördeyler

Dördeyler

Bu bölümde, Hamilton'un dördeyleri Clifford cebri Cℓ_0,3(R) nin çift alt cebri olarak kuruluyor.

Diyelimki V vektör uzayı R³,üç boyutlu gerçek uzay olsun ve Q karesel form genellikle Öklid metrikten türetilir ise R³ içinde v, w için kuadratik form var, veya nokta çarpım,

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$

v ve w vektörleri ile verilen Clifford çarpımını şimdi tanıtalım

${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ).\!}$

Bu formülasyonu karşılayan negatif işaret kullanılıyor gibi dördeyler ile kolayca gösteriliyor.

R³ nin ortogonal birim vektörlerinin bir kümesi as e₁, e₂, ve e₃,olarak daha sonra çarpım R³ nin ortogonal birim vektörlerinin bir kümesi olarak ifade edilen Clifford ilişkilerini verir

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2},\,\,\,\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{3},\,\,\,\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1},\!}$

ve

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1.\!}$

Clifford cebrinin genel ögeleri Cℓ_0,3(R) ile veriliyor

${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+a_{5}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+a_{6}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+a_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.\!}$

Cℓ_0,3(R) nin çift kademeli ögelerinin doğrusal düzenlemesi olan çift alt cebri Cℓ⁰_0,3(R) ile tanımlanan genel öge

${\displaystyle Q=q_{0}+q_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+q_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+q_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.\!}$

Temel ögeler i, j, k kuaterniyon tabanı ile tanımlanabilir,ögelerinin

${\displaystyle i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2},}$

olarak gösterilen bu Cℓ⁰_0,3(R) çift alt cebiri Hamilton'un gerçek kuaterniyon cebridir.

bunu göstermek için,hesap

${\displaystyle i^{2}=(\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3})^{2}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1,\!}$

ve

${\displaystyle ij=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=k.\!}$

sonuç,

${\displaystyle ijk=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-1.\!}$

İkili dördeyler

Bu bölümde, ikili dördeyler dejenere bir kuadratik form ile gerçek dört boyutlu uzayın çift Clifford cebri olarak kurulmuştur.^[6][7]

Diyelimki V vektör uzayı, R⁴ gerçek dört boyutlu uzay ve Q karesel form, R³ üzerinde Öklidyen metrikten elde edilen bir dejenere form olsun,v, w in R⁴ içinde v, w için dejenere çiftdoğrusal form şöyle tanımlanır

${\displaystyle d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$

R³ üzerine yüzeyötesi R⁴ içinde bu dejenere skaler çarpım izdüşüm mesafe ölçümleri.

v ve w vektörerinin Clifford çarpımı ile veriliyor

${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2\,d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).\!}$

Unutmadan eksi işareti dördeylerle yazışmaları basitleştirmek için tanıtıldı.

R⁴ nin ortogonal birim vektörlerinin bir kümesi ifadesi olarak e₁, e₂, e₃ ve e₄, ise Clifford çarpımı ilişkileri elde edilir

${\displaystyle \mathbf {e} _{m}\mathbf {e} _{n}=-\mathbf {e} _{n}\mathbf {e} _{m},\,\,\,m\neq n,\!}$

ve

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1,\,\,\mathbf {e} _{4}^{2}=0.\!}$

Clifford cebrinin Cℓ(R⁴,d) genel ögelerinin 16 bileşeni var. çift dereceli kademeli ögenin doğrusal kombinasyonu çift alt cebir Cℓ⁰(R⁴,d) genel öge

${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+h_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+h_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+h_{4}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{1}+h_{5}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}+h_{6}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{3}+h_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}.\!}$

ile tanımlanır.Taban ögesi dördey taban ögeleri i, j, k ve ikili birim ε olarak denkleştirilebilir

${\displaystyle i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2},\,\,\varepsilon =\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}.\!}$

Bu yazışma Cℓ⁰_0,3,1(R) çift dördey ile cebir Cℓ⁰_0,3,1(R) yi sağlar.

Bunu görmek için, hesap

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}(\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{4})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=0,\!}$

ve

${\displaystyle \varepsilon i=(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})=i\varepsilon .\!}$

e₁ ve e₄ nin değişikliği zamanın bir çift sayı alterne işareti, ve çift birim ε ile gösterilir ve dördey taban ögeler i, j, ve k ile sırabağımsızdır

Özellikler

Dış cebirle ilişkisi

Verilen bir vektör uzayı V ile yalnızca dış cebir Λ(V) ile kurulabilir, V herhangi bir ikinci derece biçiminden bağımsızdır.Burdan çıkıyor ki K karakteristik 2 daha sonra orada olmadığında bir doğal izomorfizm Λ(V) ve Cℓ(V, Q) arasında vektör alanları olarak düşünülebilir (burada natura olmayabilir karakteristik iki izomorfizma, var). ancak ve ancak Q = 0 ise bu bir cebir izomorfizmasıdır .Q üzerine bağlı bir çarpma ile V üzerinde dış cebirin bir zenginliği olarak böylece Clifford cebiriCℓ(V, Q)(veya daha doğrusu, bir nicemleme, bakınız,giriş) düşünebiliriz(hala Q dış çarpımı bağımsız tanımlanabilir).

Q izomorfizm kurmak için kolay yol V için seçilen bir ortogonal taban {e_i} içindir ve onu bir tabana uzatmak için Cℓ(V, Q) olarak yukarda tanımlanıyor.Cℓ(V, Q) → Λ(V) eşlemesi ile belirlenir

${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$

unutmayın eğer bu {e_i} tabanı ortogonal ise çalışır. bunun bir eşleme olduğu gösterilebilir ve ortogonal taban  seçimi bağımsızdır ve bu yüzden bir doğal izomorfizm veriyor.

Eğer K nın karakteristiği 0 ise,ve bir de antisimetrileştirme ile izomorfizm kurulabilir f_k: V × … × V → Cℓ(V, Q) fonksiyonunun tanımı ile

${\displaystyle f_{k}(v_{1},\cdots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$

burada toplam k elemanları üzerinde simetrik grup üzerinden alınır. Bu bağlamda f_k alternatif olarak bu bir teklik doğrusal eşleme Λ^k(V) → Cℓ(V, Q) uyarır.Bunun direkt toplamı eşlemeleri Λ(V) ve Cℓ(V, Q) doğrusal bir eşleme arasında veriliyor . Bu eşlemenin  doğrusal  izomorfizm olduğu gösterilmiştir ve bu doğaldır.

Ilişkiyi görmenin daha sofistike bir yolu Cℓ(V, Q) üzerinde bir filtreleme kurulumu içindir. Hatırlanacağı gibi tensör cebiri T(V) nin bir dogal süzmesi var: F⁰ ⊂ F¹ ⊂ F² ⊂ … burada F^k derece ≤ k ile tensörlerin toplamını içerir. Clifford cebri bu aşağı izdüşümü Cℓ(V, Q) üzerinde bir süzme ile veriliyor.birleşimli dereceli cebir

${\displaystyle Gr_{F}C\ell (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$

dir.Λ(V) dış cebri için doğal izomorfiktir.Bu bağlamda süzülmüş bir cebir her zaman süzülmüş vektör alanları olarak süzülmüş cebir için izomorfunun asosise kademe cebirdir (tüm k için F^k+1 içinde F^k nın tamamlayıcılarını seçerek ),herhangi bir karakteristik içinde(doğal olmamasına rağmen) bu iki çift bir izomorfizm sağlar.

Sınıflandırma

Aşağıdakinde, varsayalımki karakteristik 2.^[8] değildir.

Clifford cebri Z₂-kademeli cebir (ayrıca supercebir olarak biliniyor). Yani, V üzerinde doğrusal gönderme v ↦ −v (başlangıç yardımıyla yansıma) ile tanımlanıyor.Q karesel formu korunur ve böylece bir cebir otomorfizmi için Clifford cebri uzantılarının evrensel özellikleri ile

α: Cℓ(V, Q) → Cℓ(V, Q).

bağlamında α bir karmaşadır(yani. o denklik için kareler) α' nın pozitif ve negatif özdeğerleri içinde Cℓ(V, Q) ayrışabilir..

${\displaystyle C\ell (V,Q)=C\ell ^{0}(V,Q)\oplus C\ell ^{1}(V,Q)}$

burada Cℓⁱ(V, Q) = {x ∈ Cℓ(V, Q) | α(x) = (−1)ⁱx}. Bu bağlamda α bir otomorfizmdir,bu aşağıda şöyledir

${\displaystyle C\ell ^{\,i}(V,Q)C\ell ^{\,j}(V,Q)=C\ell ^{\,i+j}(V,Q)}$

Bu üst-indis modulo 2 okunur,bir Z₂-kademe cebirinin kurulumu Cℓ(V, Q) veriliyor. Altuzay Cℓ(V, Q),nin bir altcebir formuna çift altcebir denir.Altuzay Cℓ¹(V, Q) Cℓ(V, Q) (bu bir altcebir değildir).nin çift kısım olarak adlandırılır.Bu Z₂-kademe analizde ve Clifford cebiri uygulamasında önemli bir rol oynar. α otomorfizme ana sönme veya kademeli sönme denir. Bu ögelerin bu Z₂-kademe içinde saf sadece çift veya tek olduğu söyleniyor.

Açıklama.karakteristikteCℓ(V, Q) nin 2 değildir vektör uzayı altında Λ(V) ^[9] dışsal cebirin vektör uzayı altında yer alan kurallı izomorfizmden bir N-kademe ve bir Z-kademe devralıyor. Buna dikkat etmek önemlidir, bununla beraber, işte bu bir yalnızca vektör uzayı kademesidir. Şöyleki, Clifford çarpımı N-kademe veya Z-kademe sıralı değildir, yalnızca Z₂-kademe: örneğin eğer Q(v) ≠ 0, ise v ∈ Cℓ¹(V, Q), ama v² ∈ Cℓ⁰(V, Q), Cℓ²(V, Q) içinde değildir. Ne mutlu ki, dereceleri doğal şekilde ilişkilidir: Z₂ ≅N/2N≅ Z/2Z. daha fazla, the Clifford cebri Z-filtrelenmiştir: Cℓ^≤i(V, Q) ⋅ Cℓ^≤j(V, Q) ⊂ Cℓ^≤i+j(V, Q). Bir Clifford sayısının derecesi genellikle N-kademe içinde derecesine değinmektedir .

Bir Clifford cebrinin çift altcebiri Cℓ⁰(V, Q) bir Clifford cebri için kendine izomorfiktir.^[10][11] Eğer V bir vektörünün ortogonal direkt toplamı bir Q(a) normunun bir vektörünün ortogonal direkt toplamı ve bir U altuzayı ise Cℓ⁰(V, Q) ,Cℓ(U, −Q(a)Q) için izomorfiktir burada −Q(a)Q , Q formu U ile sınırlanıyor ve −Q(a) ile çarpılıyor.Özellikle bu vurgu üzerine gerçekler şöyledir

q > 0 için ${\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{p,q-1}(\mathbf {R} )}$ ve

p > 0 için ${\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{q,p-1}(\mathbf {R} )}$

negatif-tanım durumu içinde bu verilen bir Cℓ_0,n−1(R) ⊂ Cℓ_0,n(R) içermesi bu diziyi genişletir

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H⊕H ⊂ …;

aynı şekilde,yalnız karmaşık durum içinde gösterilebilirki Cℓ_n(C) nin çift altcebri Cℓ_n−1(C) için izomorfiktir

Antiotomorfizmler

Burada ek otomorfizm α için bu iki anti-otomorfizmler Clifford cebrinin analizi içinde önemli bir rol oynar. Tensor cebri T(V) nden hatırlanacağı gibi birlikte alınan tüm çarpımlar içinde antiotomorfizmin bu derecesi tersine çevrilir :

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$

bağlamında ideal I_Q bu terslik altında değişmezdir, Cℓ(V, Q) nun bu inen işlem bir antiotomorfizmine bir devrik veya tersine işlem denir, x^t ile ifade edilir.Devrik bir antiotomorfizm: (xy)^t = y^t x^t.dir. Devrik işlem Z₂-kademenin hiçbiri kullanılmaz, böylece α düzenlemesi ve devrik ile ikinci bir antiotomorfizm olarak tanımlanıyor,bu ${\displaystyle {\bar {x}}}$ Cliffort birleşme işlemi olarak adlandırılır

${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{t})=\alpha (x)^{t}.}$

İki antiotomorfizmlerin, devriği daha temeldir.^[12]

Unutmadan bu tüm işlemlerin sönmeleridir,ögelerin üzerinde ±1 olarak hareket ettikleri görülebilir bu Z-kademe içinde saftır.Aslında, her üç işlem derecesi sadece modulo 4'e bağlıdır. İşte bu, eğer x saf k derece ile ise

${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{t}=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$

burada işaretler aşağıdaki tablo ile veriliyor:

k mod 4	0	1	2	3
${\displaystyle \alpha (x)\,}$	+	−	+	−	(−1)^k
${\displaystyle x^{t}\,}$	+	+	−	−	(−1)^k(k−1)/2
${\displaystyle {\bar {x}}}$	+	−	−	+	(−1)^k(k+1)/2

Clifford skaler çarpım

Eğer karakteristik 2 değil ise, V üzerinde karesel form Q Cℓ(V, Q) (bu ayrıca Q ile ifade edilir)'nun hepsi üzerinde bir karesel form için genişletilebilir. Böyle bir uzantısının bir baz bağımsız tanımı

${\displaystyle Q(x)=\langle x^{t}x\rangle }$

burada ⟨bir⟩ bir (Z-kademe içinde parça kademe 0)ın skaler parçası ifadesidir.Yalnız gösterilebilir ki

${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$

burada v_i 'V nin ögeleridir– bu denklik Cℓ(V, Q).nun keyfi ögeleri için doğru değildir.

birleşmeli simetrik çiftdoğrusal form on Cℓ(V, Q) üzerinde birleşmeli simetrik çiftdoğrusal form şöyle veriliyor

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle x^{t}y\rangle .}$

Yalnız V için kısıtlı olduğunda bu orijinal çiftdoğrusal form için bu indirgemeyi  kontrol edebilirsiniz. Çiftdoğrusal form on all of Cℓ(V, Q) nun tüm üzerindeki dejenere olmayan ancak ve ancak eğer V üzerinde ayrışmayandır

Bu devriği doğrulamak için zor değildir bu iç çarpıma göre sol/sağ Clifford çarpımının ekidir.Şöyleki,

${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\langle x,a^{t}y\rangle ,}$

ve

${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\langle x,ya^{t}\rangle .}$

Clifford cebrinin yapısı

Bu bölümde biz vektör uzayı Vnin sonlu boyutlu ve Q nun çiftdoğrusal formunun tekil-olmadigini K üzerinde bir merkezi basit cebirin (sonlu boyutlu) bir bölüm cebri üzerinden K merkez ile bir matris cebiri oldugunu varsayiyoruz.Örneğin, gerçekler üzerinde merkezi basit cebir ya gerçekler veya kuaterniyonların üzerinde  matris cebirleridir.

• Eğer V çift boyut Cℓ(V, Q) var ise K üzerinde bir merkezi basit cebirdir
• Eğer V çift boyut Cℓ⁰(V, Q) var ise Knın bir karesel uzantısı üzerinde merkezi bir basit cebiri veya K üzerinde iki izomorfik merkezi basit cebirin bir toplamıdır
• Eğer V tek boyut Cℓ(V, Q) var ise K nın bir karesel uzantısı üzerinde merkezi bir basit cebir veya K üzerinde izomorfik bir merkezi basit cebirin bir toplamıdır
• Eğer V tek boyut Cℓ⁰(V, Q) var ise K üzerinde bir merkezi basit cebirdir

Clifford cebiri yapısı aşağıdaki sonucu kullanılarak açıkça dışarı geçirilebilir. U için varsayalımki çift boyut var ve diskriminant d ile tekil-olmayan bir çift boyut var ve varsayalım V bir karesel form ile diğer vektör uzayıdır.U+V nin Clifford cebri U nun Clifford cebirlerinin tensör çarpımı (−1)^dim(U)/2dV için izomorfiktir ve bu (−1)^dim(U)/2d ile çarpılan V uzayı ile birlikte karesel formdur,gerçekler üzerinde,şu özellikler vurgulanır

${\displaystyle C\ell _{p+2,q}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle C\ell _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{p,q}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle C\ell _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} ).}$

Bu formüller tüm gerçek Clifford cebiri ve tüm karmaşık Clifford cebiri yapısını bulmak için kullanılabilir;Clifford cebirlerinin sııflandırılmasına bakınız

özellikle,bir Clifford cebrinin Morita eşdeğeri sınıfı (onun gösterim teorisi: bunun üzerine modül kategorisinin denklik sınıfı) yalnızca (p − q) mod 8 işareti üzerinde bağımlıdır. Bu Bott periyodisitesinin bir cebrik formudur.

Clifford grup

Clifford gruplarının sınıfı Rudolf Lipschitz tarafından araştırıldı.^[13]

Bu bölümde varsayalımki V sonlu boyutludur ve karesel form Q dejenere olmayandır

tersinebilir ögelerin grubu ile bir Clifford cebrinin ögeleri üzerinde bir hareket bükümlü bir birleşmenin terimleri içinde tanımlanabilir: x ile bükümlü birleşim y ↦ x y α(x)⁻¹, eşlemeleri ile burada α ana büzülme yukarıda tanımlanıyor

Clifford grup Γ tersinebilir ögelerin kümesi olarak tanımlanıyor x işte bu hareket, altında stabilize vektörler v nin V içinde bunun tüm anlamı, elimizde olan:

${\displaystyle xv\alpha (x)^{-1}\in V.}$

Bu formül ayrıca V vektör uzay üzerinde tanımlanan Clifford grubunun bir hareketi norm Q koruyor ve böylece ortogonal grup için Clifford gruptan bir homomorfizm veriliyor. Clifford grubu, sıfırdan farklı norm V nin tüm r unsurlarını içerir, ve burada yansımalar karşılığı ile V üzerine hareket şu v−2⟨v,r⟩r/Q(r) için v alınıyor.(Karakteristik 2 de bu yansımalar oldukça daha ortogonal transveksiyonlar denir.)

Clifford grup Γ, Γ⁰ ve Γ¹ altkümelerinin ayrık birliğidir.iki altkümelerini burada Γⁱ , i. derecenin ögelerinin altkümesidir Γ⁰ alt kümesi Γ içinde indis'in bir alt grubudur

Eğer V kesin pozitif (veya kesin negatif ) kuadratik formu ile bir sonlu boyutlu reel vektör uzayı ise Clifford grup biçimine göre V ortogonal grup üzerine eşleşir (Cartan–Dieudonné teoremi ile) ve Çekirdek alan K sıfırdan farklı unsurdan oluşur.Bu tam diziler için açılan yol

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma \rightarrow {\mbox{O}}_{V}(K)\rightarrow 1,\,}$

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow {\mbox{SO}}_{V}(K)\rightarrow 1.\,}$

Diğer alanlar üzerinde veya tanımsız formlarla, gönderme genel üzerinde değildir, ve hatalı spinor norm tarafından kapılır.

Spinor norm

Daha fazla bilgi: Spinor_norm#Galois_kohomoloji_ve_ortogonal_gruplar

Keyfi karakteristik, spinor normun Q Clifford grup üzerinde tanımlanması ise

${\displaystyle Q(x)=x^{t}x.\,}$

Bu K nın sıfır olmayanın K* grubu için Clifford grubundan bir homomorfizmdir.Eğer V Clifford cebri bir altuzay ile özdeşleşmişse bu V nin Q kuadratik formu çakışır. Bazı yazarlar biraz farklı spinor normu tanımlayabiliyor, böylece −1, 2, veya −2 veya Γ¹ nin bir faktörü ile burada tek fark karakteristik 2'den başkası çok daha önemli değildir.

K nın sıfırsız ögeleri K alanının sıfırsız ögelerinin karelerinin K*² grubu içinde spinor normları var.Böylece V eğer sonlu boyutlu ve tekil-olmayan K*/K*² ise V 'nin grubu için ortogonal gruptan verilen bir uyarıya ayrıca spinor normu denir,r bir vektörün yansımasının spinor normu K*/K*² içinde Q(r) görüntüsü var ve bu teklik özelliği onu ortogonal grup üzerinde tanımlıyor,onun tam dizilimleridir:

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{*}/K^{*2},\,}$

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Spin}}_{V}(K)\to {\mbox{SO}}_{V}(K)\to K^{*}/K^{*2}.\,}$

Unutmadan karakteristik 2 içinde grup {±1}in sadece tek ögesi vardı.

cebrik grupların Galois kohomolojisinin bakışı açısından,spinor norm kohomoloji üzerine bir bağlantılı homomorfizmidir. 1'in karekökünün cebrik grubu için μ₂ yazılıyor (karakteristiğin bir alanı üzerinde 2 değildir bu önemsiz Galois hareketi ile kabaca aynı bir iki-ögeli gruptur), kısa tam dizi

${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow {\mbox{Pin}}_{V}\rightarrow {\mbox{O}}_{V}\rightarrow 1\,}$

kohomoloji uzun bir tam dizisi vermektedir,ki başlangıcı

${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}({\mbox{Pin}}_{V};K)\to H^{0}({\mbox{O}}_{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).\,}$

K içindeki katsayılar ile bir cebrik grubun 0.ıncı Galois kohomoloji grubu sadece K-değerli noktaların grubudur: H⁰(G; K) = G(K), ve H¹(μ₂; K) ≅ K*/K*², önceki sırayı kurtarır ki

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{*}/K^{*2},\,}$

burada spinor norm H⁰(O_V; K) → H¹(μ₂; K) bağlantı homomorfizmidir.

Spin ve Pin grupları

Spin grup,Pin grup ve spinor

Bu bölümde varsayimimiz V sonlu boyutludur ve bu çift dogrusal form tekil-olmayandir. (Eğer K karakteristik 2 idiyse bu V 'nin boyutunun çift olduğunu vurgular.)

Pin grup Pin_V(K) 1 ± spinor normun elemanlarının Clifford grup Γ bir alt grubudur, ve benzer Spin grup Spin_V(K) , Pin_V(K) içinde Dickson değişmezi 0'ın ögelerinin altgrubudur

Karakteristik, 2 olmadığında,bu belirleyici 1 unsurlarıdır. genellikle Spin grup Pin grubunda indis 2 içinde vardır.

Clifford grubundan bir homomorfizmanın ortogonal grubu üzerine olduğunu önceki bölümden hatırlayın.Özel ortogonal grup Γ⁰.nın görüntüsü olarak tanımlıyoruz K karakteristik 2 yoksa.Bu belirleyici 1 ortogonal grubunun elemanlarının sadece bir grubudur.K karakteristiğe 2'ye sahip değilse ortogonal grubun tüm unsurlarının belirleyicisi 1 var, ve ortogonal grup Dickson değişmezi 0 elemanlarının kümesidir.

Ortogonal gruba Pin grubundan bir homomorfizm bulunmaktadır. The image consists of the elements of spinor norm 1 ∈ K*/K*². +1 ve−1,ögelerinin oluşturduğu çekirdek ve K 2.derece olmadıkça karakteristik 2.var Benzer şekilde burada V 'nin özel bir ortogonal grubuna göre Spin grubundan bir homomorfizmdir.

yaygın durumda iken V gerçekler üzerinde pozitif ya da negatif kesin bir alandır, spin grubu,özel ortogonal grubunun üzerine eşleşir, ve eğer V nin 3 ten az boyutu var ise basit bağlantıdır.Bundan başka, bu homomorfizmanın çekirdeği 1 ve -1den oluşur.Yani bu durumda spin grubu, Spin(n), SO(n) nin bir çift örtüğüdür. ancak dikkat edin, Spin grubun basit bağlılığı genel olarak doğru değildir: Eğer V p ve q her ikisi için R^p,q ,2 den az ise spin grup basit bağlı değildir. Bu durumda cebirsel grup Spin_p,q basit gerçek değerli noktalarından olan grubu Spin_p,q(R) basit bağlantılı olsa bile, bir cebirsel grup olarak bağlanır. Bu tamamen spin grupları hakkında en azından bir standart kitabın yazarların karıştırdığı, oldukça ince bir noktadır.

Spinorlar

Bu durumda cebirsel grup Spin_p,q(R) sadece gerçek değerli noktalarından olan grubu Spinp, q (R) basit bağlantılı olsa bile, bir cebirsel grup olarak bağlanır.Spinorlar Clifford cebri Cℓ_p,q(C), ile p+q=2n çift, burada 2ⁿ.boyutlu matris cebrinin karmaşık bir gösterimi var.Pin_p,q(R) grup için sınırlama ile aynı boyutun Pin grup bir karmaşık gösterimini alıyoruz, spin gösterimi denir. Eğer spin grup için bu sınırlı Spin_p,q(R) ise bu 2ⁿ⁻¹ boyutun iki yarı spin gösterimleri (veya Weyl gösterimleri)in toplamı olarak ayrıktırlar

Eğer p+q=2n+1 , tek ise Clifford cebri Cℓ_p,q(C), iki matris cebrinin bir toplamı ise, bunun her 2ⁿ,boyutlunun bir gösterimi var ve burada Pin grup Pin_p,q(R) nin ayrıca her iki gösterimleridir.spin grup Spin_p,q(R) için sınır üzerinde bu olan izomorfiktir, böylece spin grup 2ⁿ boyutlunun bir karmaşık spinor gösterimi var

Daha geneli, spinor gruplar ve pin gruplar üzerinde herhangi alan Clifford cebri karşılığının yapısı üzerinde bağlı tam yapılar olan benzer gösterimler var: her ne zaman bir Clifford cebri bir faktörü olan bazı bölüm cebri üzerinde bir matris cebridir, bu bölme cebri üzerinde pin ve spin grupların bir karşılık gösterimini alıyoruz,gerçekler üzerinde örnekler için  spinorlerle ilgili makaleye bakın.

Gerçek spinorlar

Daha fazla bilgi: spinor

Gerçek Spin gösterimleri açıklamak için, bir spin grubun Clifford cebiri içinde nasıl oturduğunu bilmeniz gerekir.Pin grup, Pin_p,q ,Cℓ_{p, q} içinde tersinebilir ögelerin bir kümesidir,bu birim vektörlerin bir çarpımı olarak yazılabilir:

${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{p,q}=\{v_{1}v_{2}\dots v_{r}|\,\,\forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\}.}$

Clifford cebiri yukarıdaki somut gerçekleşmeleri ile karşılaştırıldığında,Pin grubu,keyfi olarak birçok yansımaların çarpımlarına karşılık gelir: Bu tam ortogonal grup O(p, q) bir örtüsüdür. Pin_{p, q} nun böyle ögelerini oluşturan Spin grup bu birim vektörlerinin bir çift sayının çarpımıdır. Böylece Cartan-Dieudonné teoremi ile Spin SO(p,q) uygun dönmelerinin grubunun bir örtüğüdür

Diyelimki α : Cℓ → Cℓ otomorfizm olsun bu v ↦ −v göndermeleri ile veriliyor saf vektörler üzerinde hareket ediyor.Özel olarak ise, Spin_p,q ,Pin_{p, q} nun altgrubu böylece α ögeleri ile sabitleniyor.Diyelimki

${\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}=\{x\in C\ell _{p,q}|\,\alpha (x)=x\}.}$

(Bu Cℓ_{p, q}.içinde çift derecenin ögeleri tamdır) ise spin grup Cℓ⁰_{p, q}.ile birlikte yer alır

Cℓ_{p, q} nin indirgenemez gösterimleri pin grubun verilen gösterimi için sınırdır. Tersine olarak, pin grup bağlamında birim vektörler ile üretiliyor.onun indirgenemez temsilinin hepsi bu şekilde uyarılır.Böylece iki temsiller çakışacak. Aynı nedenlerle, spin indirgenemez temsiller Cℓ⁰_{p, q} indirgenemez temsilleri ile çakışacak

Pim gösterimleri sınıflandırmak için, bir ihtiyaç sadece Clifford cebrinin sınıflandırması çağırıyoruz..(çift alt cebirin ifadesidir) Spin gösterimleri bulmak için, bir ilk izomorfizmlerden  yararlanabilir (yukarıya bakınız)

Cℓ⁰_p,q ≈ Cℓ_p,q−1, for q > 0

Cℓ⁰_p,q ≈ Cℓ_q,p−1, for p > 0

ve işaret içinde gerçeklenen bir spin gösterim bir pin olarak (p,q) ya (p,q−1) veya (q,p−1) işareti içinde gösterilir.

Uygulamalar

Diferansiyel geometri

Dışsal cebirin temel uygulamalarının biri burada diferansiyel geometri içinde bir düzgün manifold üzerinde diferansiyel formların demet tanımı için kullanılıyor. Bir (pseudo-)Riemannian manifoldu durumunun, uyarılmış bir doğal kuadratik form ile donanımı tanjant uzaylar metrik iledir . Böylece, dışsal demet ile aynı analojide olan bir Clifford demeti ile tanımlanıyor.Riemannian geometride önemli uygulamaların numarası vardır Belki de daha önemlisi bir spin manifoldla bağlantıdır,ve bu spinor demet ilişkisi spin^c manifoldlarıdır.

Fizik

Clifford cebrinin fizikte çok sayıda önemli uygulamaları var. Fizikçiler genellikle bir Clifford cebri düşünüldüğünde γ₀,…,γ₃ olan matrisleri ile bir cebrik germe denilen Dirac matrislerinin şu özellikler var

${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}\,}$

burada η (1,3) işaretinin karesel bir formunun matrisidir. Bu tam Clifford cebri Cℓ_1,3(C) (2 nin önemsiz bir faktörü kadar ) için ilişkiler tanımlanıyor, bununla Clifford cebrinin sınıflandırması 4 e 4 karmaşık matrislerin cebri için izomorfiktir.

Dirac matrisleri Paul Dirac tarafından ilk yazılı idi,o elektron için bir göreli ilk-derece dalga denklemi yazılması için denendi, ve karmaşık matris cebrine Clifford cebri bir açık izomorfizma verir.Sonuç olarak Dirac denklemi tanımı ve Dirac işlemci tanıtımı için kullanıldı.Tüm Clifford cebri Dirac alanı çiftdoğrusallarının formu içinde kuantum alan teorisi içinde gösteriliyor.

Clifford cebrinin kullanımı kuantum teori tanıtımı için diğerleri yanı sıra Mario Schönberg ile ilerledi,^[14] geometrik hesapının terimleri içinde David Hestenes ile,David Bohm tarafından ve Basil Hiley ve bir Clifford cebrinin hiyerarşisinin bir formu içinde eş-çalışması, ve Elio Conte ve ark ile.^[15][16]

Bilgisayarlı görme

Yenilerde, Clifford cebirleri eylem tanıma probleminin ve bilgisayarlı görme içinde sınıflandırma uygulaması var. Rodriguez et al.^[17] bir Clifford gömmesinde video için (3D uzay-zaman hacmi) genelleştirilmiş geleneksel MACH filtreleri önerdi, ve optik akış gibi veri vektör değerlidir.Vektör değerli veri Clifford Fourier dönüşümü kullanılarak analiz edilir.Bu vektörler üzerinde tabanlı eylem filtreleri Clifford Fourier domeninde sentezlenir ve eylemlerin tanınması Clifford Korelasyonu kullanılarak yapılır. Yazarlar genellikle televizyon yayını klasik metrajlı film ve sporda gerçekleştirilen eylemleri tanımada Clifford gömme etkinliğini göstermektedir.

Ayrıca bakınız

• Fiziksel cebir uzayı, APS
• Clifford cebrinin sınıflandırması
• Clifford modülü
• Gamma matrisleri
• Dışsal cebir
• Clifford cebri genellemesi
• Geometrik cebri
• Spin grup
• Spinor
• Paravektör
• Cayley–Dickson kurulumu
• spinor demet
• Dirac işlemci
• Clifford analizi
• spin structure
• dördeyler
• oktonyon
• kamaşık spin kurulumu
• Karmaşık ötesi sayılar
• Yüksek-boyutlu gama matrisler

Notlar

1. W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381-395
2. W. K. Clifford, Mathematical Papers, (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882.
3. see for ex. Z. Oziewicz, Sz. Sitarczyk: Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras. In: Artibano Micali, Roger Boudet, Jacques Helmstetter (eds.): Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1623-1, 1992, p. 83
4. Mathematicians who work with real Clifford algebras and prefer positive definite quadratic forms (özellikle indis teorisi içinde böyle çalışıyor) sometimes use bir farklı işaretinin seçimi in the temel Clifford denkliği içinde. That is, they take v² = −Q(v). One must replace Q with −Q in going from one convention to the other.
5. Lounesto 2001, §1.8.
6. J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics, pp. 62–5, MIT Press 1990.
7. O. Bottema and B. Roth, Theoretical Kinematics, North Holland Publ. Co., 1979
8. Thus the grup cebri K[Z/2] is yarıbasit and the Clifford algebra splits into eigenspaces of the main involution.
9. The Z-grading is obtained from the N grading by appending copies of the zero subspace indexed with the negative integers.
10. Technically, it does not have the full structure of a Clifford algebra without a designated vector subspace.
11. We are still assuming that the characteristic is not 2.
12. The opposite is true when using the alternate (−) sign convention for Clifford cebri için (-) isareti : it is the conjugate which is more important. In general, the meanings of conjugation and transpose are interchanged when passing from one sign convention to the other. For example, in the convention used here the inverse of a vector is given by v⁻¹ = v^t / Q(v) while in the (−) convention it is given by v⁻¹ = v / Q(v).
13. Lounesto 2001, §17.2.
14. See the references to Schönberg's papers of 1956 and 1957 as described in section "The Grassmann–Schönberg algebra ${\displaystyle G_{n}}$" of:A. O. Bolivar, Classical limit of fermions in phase space, J. Math. Phys. 42, 4020 (2001) DOI:10.1063/1.1386411
15. Conte, Elio (2002). A Quantum Like Interpretation and Solution of Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox in Quantum Mechanics. . Proceedings Fundamental problems of Sciences, 271-304, S. Petersburg 2002: 271-304. arΧiv: [quant-ph]. http://arxiv.org/abs/0711.2260v1. Erişim tarihi: 3 March 2014. 
16. Elio Conte: On some considerations of mathematical physics: May we identify Clifford algebra as a common algebraic structure for classical diffusion and Schrödinger equations? Adv. Studies Theor. Phys., vol. 6, no. 26 (2012), pp. 1289–1307
17. Rodriguez, Mikel; Shah, M (2008). "Action MACH: A Spatio-Temporal Maximum Average Correlation Height Filter for Action Classification". Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). 

Kaynakça

• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9 , section IX.9.
• Carnahan, S. Borcherds Seminar Notes, Uncut. Week 5, "Spinors and Clifford Algebras".
• Garling, D. J. H. (2011), Clifford algebras. An introduction, London Mathematical Society Student Texts, 78, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-09638-7, Zbl 1235.15025 
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929, Zbl 1068.11023 
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5 . An advanced textbook on Clifford algebras and their applications to differential geometry.
• Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55177-9 
• Jagannathan, R., On generalized Clifford algebras and their physical applications, arXiv:1005.4300 
• Sylvester, J. J., (1882), Johns Hopkins University Circulars I: 241-242; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7-9. Summarized in The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III .online and further.

Daha fazla bilgi

• Knus, Max-Albert (1991), Quadratic and Hermitian forms over rings, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294, Berlin etc.: Springer-Verlag, ISBN 3-540-52117-8, Zbl 0756.11008 

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Clifford algebra", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/c022460.htm 
• Planetmath entry on Clifford algebras
• A history of Clifford algebras (unverified)
• John Baez on Clifford algebras
• Clifford Algebra: A Visual Introduction