Diferansiyel geometri

Bir semerin üzerine çizilmiş üçgendir. (bir hiperbolik paraboloid), Bunun yanı sıra bir birinden farklıdır.

Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir^[1]. Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır^[2]. Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler araştırılan özellikler arasındadır.

Diferansiyel geometri, geometrik problemler üzerinde diferansiyel metotlar ve integral hesaplamalarla çalışan matematiksel bir disiplindir.^[3] Bundan başka lineer cebir ve çoklu doğrusal cebirdeki, sorunları incelemek için geometride de kullanılır.

Uygulamalar

Aşağıda diferansiyel geometrinin bilim ve matematiğin diğer alanlarında nasıl kullanıldığınin bazı örnekler vardır .

• Fizikte , dört kullanımından söz edilecektir: :

Diferansiyel geometri Einstein'ın Genel görelilik teorisi'nin ifade edildiği dildir.Teoriye göre evren, uzay-zaman eğriliğini açıklayan pseudo-Riemann metrik ile donatılmış düzgün bir manifolddur.Dünya etrafında yörüngeye uydu konumlandırmak için bu bükülmeyi anlamak esastır . Diferansiyel geometri, çekimsel mercek ve kara deliklerin çalışmasını açıklamak içinde vazgeçilmezdir. Diferansiyel formlar: Diferansiyel formların anlasilmasinda kullanılmıştır;Diferansiyel geometrinin hem Lagrange mekaniği ve hem de Hamilton mekaniği'nde uygulamaları vardır.Özellikle Simplektik manifoldlar, Hamilton sistemlerini incelemek için kullanılabilir.

• Riemann geometri ve temas geometrisi: geometrotermodinamikler formalizmini oluşturmak için kullanılan klasik termodinamik denge uygulamaları bulunmuştur .
• Ekonomide, diferansiyel geometrinin ekonometri alanında uygulamaları vardır.^[4]
• Ve diferansiyel geometriden gelen fikirler üzerine geometrik modelleme (bilgisayar grafikleri dahil) ve Bilgisayar destekli geometrik tasarım
• Mühendislikte , Dijital sinyal işleme sorunlarını çözmek için diferansiyel geometri uygulanabilir.^[5]
• Olasılık , istatistik ve bilgi kuramı olarak, özellikle Fisher bilgi metriği üzerinden bilgi geometri alanını verir ki , Riemann manifoldları gibi çeşitli yapıları yorumlayabilir .
• Yapısal jeoloji , diferansiyel geometri jeolojik yapılarını analiz etmek ve tanımlamak için kullanılır .

Bilgisayarla görme,diferansiyel geometrik şekilleri analiz etmek için kullanılır.^[6]

• Görüntü işlemede ,düz olmayan yüzeylerde veri işlemek ve analiz etmek için diferansiyel geometri kullanılır.^[7]
• Grigori Perelmanin Poincaré varsayımına kanıtı topolojideki sorulara Ricci akımlarının tekniklerini kullanarak diferansiyel geometrik yaklaşımın gücünü gösterdi ve onun analitik yöntemlerde oynadığı önemli role dikkat çekti.
• kablosuz iletişimde, grassmanniyen manifoldlar çoklu anten sistemlerinde demetleme teknikleri için kullanılmaktadır.^[8]

Ayrıca bakınız

• İntegral geometri
• Diferansiyel geometri konularının listesi
• Diferansiyel geometri ve topoloji sözlüğü
• Diferansiyel geometride önemli yayınlar
• Diferansiyel topolojide önemli yayınlar
• Basic introduction to the mathematics of curved spacetime
• Afin diferansiyel geometri
• İzdüşümsel diferansiyel geometri
• Değişmeli olmayan geometri
• Sentetik diferansiyel geometri
• Soyut diferansiyel geometri
• Ayrık diferansiyel geometri
• Fraktaller üzerinde analiz

Kaynaklar

1. The MacTutor History of Mathematics Archive
2. WolframMathWorld
3. Maddenin ingilizce belgesinden
4. Paul Marriott and Mark Salmon (editors), "Applications of Differential Geometry to Econometrics", Cambridge University Press; 1 edition (September 18, 2000).
5. Jonathan H. Manton, "On the role of differential geometry in signal processing" .
6. Mario Micheli, "The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature", http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf
7. Anand A. Joshi, "Geometric methods for image processing and signal analysis",
8. David J. Love and Robert W. Heath, Jr. "Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems," IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 49, No. 10, October 2003

Daha ileri okuma

• Wolfgang Kühnel (2002). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed. bas.). ISBN 0-8218-3988-8. 
• Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (2nd ed. bas.). ISBN 0-521-53927-7. 
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (3rd Edition bas.). 
• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.  Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
• Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-486-66721-9.  Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. 
• McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint. 
• Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. 
• Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed. bas.). 
• Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry. 
• ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0. 

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Differential geometry", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/d032170.htm 
• B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University
• Michael Murray's online differential geometry course, 1996
• A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
• Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
• Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry
• N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008

Şablon:Mathematics-footer