Birler matrisi

matematikte, bir birlerin matrisi veya tüm-birler matrisi bir matris'in burada her ögesi bir'e eşittir.^[1] standard gösterimin örneği aşağıda veriliyor:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Bazı kaynaklar tüm-birler matrisini birim matris kodlar,^[2] ama bu terim ayrıca eş matrise başvurabilir, bir fark matristir.

Özellikler

bir n×n birlerin matrisi J için, aşağıdaki özellikler uyar:

• Jnin izi ndir,^[3] eğer n 1 ve determinant 1 dir , veya aksi halde 0 .
• Jnin rankı 1'dir ve özdeğeri n (ilk) ve 0 (n-1 zaman)dır.^[4]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J,{\mbox{ için }}k=1,2,\ldots .\,}$^[5]
• matris ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ eşgüçlü'dür. Bu yukardakinin bir basit sonucudur.^[5]
• ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J,}$ burada exp(J) matris üsteldir.
• J Hadamard çarpımının yüksüz ögesidir.^[6]
• Eğer A bir n-tepe yönsüz grafı Gnin bitişik matrisi , ve J aynı boyutlunun tüm-birler matrisi , ise G bir düzgün graf yalnız ve yalnız AJ = JAdir.^[7]

Kaynakça

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), "0.2.8 The all-ones matrix and vector", Matrix Analysis, Cambridge University Press, ss. 8, ISBN 9780521839402, http://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA8 .
2. Eric W. Weisstein, Unit Matrix (MathWorld)
3. Stanley, Richard P. (2013), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988, http://books.google.com/books?id=_Tc_AAAAQBAJ&pg=PA4 .
4. Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65.
5. Timm, Neil H. (2002), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, ss. 30, ISBN 9780387227719, http://books.google.com/books?id=vtiyg6fnnskC&pg=PA30 .
6. Smith, Jonathan D. H. (2011), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, ss. 77, ISBN 9781420063721, http://books.google.com/books?id=PQUAQh04lrUC&pg=PA77 .
7. Godsil, Chris (1993), Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310, http://books.google.com/books?id=eADtlNCkkIMC&pg=PA25 .