de Sitter uzayı

matematik ve fizikte, bir de Sitter uzayı Minkowski uzayı içinde analogtur, ve uzayzaman, sıradan bir kürenin içinde , Öklidyen uzayı içinde n-boyutlu de Sitter uzayı,${\displaystyle dS_{n}}$ ile ifade edilir,Lorentzyen manifold bir n-kürenin analogudur (bu kanonik Riemannyen metrik ile); bu maksimal simetriktir,pozitif sabit eğrilik var, ve basit-bağlantı n en az 3 tür. Hem de Sitter uzayı, hem de Anti-de Sitter uzayı adı Willem de Sitter (1872-1934) anısınadır, Leiden Üniversitesinde astronomi profesörünün ve Leiden Gözlemevinin müdürüdür. bizim evrenin uzay-zaman yapısı üzerinde Leidende 1920'de Willem de Sitter ve Albert Einstein birlikte çalıştı.

genel görelilik dilinde, de Sitter uzayı maksimal simetriktir, Einstein'ın alan denklemlerinin vakum çözümü ile bir pozitif (itici) kozmolojik sabit ${\displaystyle \Lambda }$ (pozitif bir vakum enerji yoğunluğu ve negatif basınca karşılık gelen).Eger n = 4 ise (3 uzay boyutları artı zaman), bu fiziksel evren için bir kozmolojik modeldir; bakınız de Sitter uzayı.

De Sitter uzayı Willem de Sitter ve aynı zamanda bağımsız olarak Tullio Levi-Civita tarafından araştırıldı.

Daha yakın zamanlarda bu Özel Görelilik için çerçeve olarak kabul ediliyor Minkowski uzayı yerine kullanılıyordu, yine de Sitter uzayının bir grup kasılması Poincaré grupa izometri grubuna indirgenmesi bir yarı-basit gruptan bir basit grup içine Poincaré grupunun öteleme altgrubu ve Lorentz dönüşüm altgrubu yerine uzayzamanın bir birleşmesini sağlar.Özel göreliliğin bu farklı formulasyonuna de Sitter göreliliği denir.

Özellikler

de Sitter uzayının izometri grubu O(1,n) Lorentz grubudur.Metrik bunun için eğer n(n+1)/2 bağımsızKilling vektörü ise ve maksimal simetriktir. Her maksimal simetrik uzay sabit eğriliktedir. de Sitter'in Riemann eğrilik tensörü ile veriliyor

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })}$

De Sitter uzayı bir Einstein manifold bağlamında Ricci tensör metriğe orantılıdır:

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Bu de Sitter uzayının anlamı Einstein'ın bir vakum denkleminin çözümü kozmolojik sabit ile veriliyor

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.}$

de Sitter uzayının skaler eğriliği aşağıda verilmiştir

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .}$

n = 4 durumu , için elimizdde Λ = 3/α² ve R = 4Λ = 12/α².

Durgun koordinatlar

Biz aşağıda de Sitter için durgun koordinatlar ${\displaystyle (t,r,\ldots )}$ olarak tanıtabiliriz:

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.}$

burada ${\displaystyle z_{i}}$ (n−2)-küre Rⁿ⁻¹ içinde standard gömme veriliyor. alınan de Sitter metrik formu içinde bu koordinatlar:

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.}$

Unutmadan burada ${\displaystyle r=\alpha }$ da bir kozmologjik ufuktur.

Düz dilimleme

Diyelimki

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i},\qquad 2\leq i\leq n}$

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ burada ${\displaystyle (t,y_{i})}$ içinde ise koordinatların metrik okunuşu:

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2t/\alpha }dy^{2}}$

${\displaystyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ burada ${\displaystyle y_{i}}$'in üzerinde düz metriktir.

Açık dilimleme

Diyelimki

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha z_{i}\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n}$

burada ${\displaystyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$ forming bir ${\displaystyle S^{n-2}}$ formu ile ${\displaystyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$ standard metrik ise de Sitter uzayının metri okunuşu

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

burada

${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-2}^{2}}$

bir Öklidyen hiperbolik uzayın metriğidir.

Kapalı dilimleme

Diyelimki

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )z_{i},\qquad 1\leq i\leq n}$

burada ${\displaystyle z_{i}}$s bir ${\displaystyle S^{n-1}}$ tanıtılır ise metrik okunuşu:

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )d\Omega _{n-1}^{2}.}$

${\displaystyle \tan(\eta /2)=\tanh(t/2\alpha )}$ konformal zaman yoluyla zaman değişkenli değişim Einstein durgun evrenine konformal eşdeğer bir metrik elde ederiz:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}).}$

Bu de Sitter uzayının Penrose diyagramının bulunmasına hizmet eder.

dS dilimleme

Diyelimki

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha ),}$

${\displaystyle x_{2}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\cosh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha z_{i}\sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n}$

burada ${\displaystyle z_{i}}$s bir ${\displaystyle S^{n-3}}$ tanıtır,ise metrik okunuşu:

${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

burada

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-2}^{2}}$

Açık dilimleme koordinatları içinde ${\displaystyle \alpha }$ eğriliğinin yarıçapı ile de Sitter uzayı bir ${\displaystyle n-1}$ boyutlunun metriğidir . hiperbolik metrik :

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-3}^{2}.}$

ile veriliyor

Bu ${\displaystyle (t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})}$ koordinatları altında ve ayrıca ${\displaystyle x_{0}}$ ve ${\displaystyle x_{2}}$ anahtarlama açık dilimlemenin analitik sürekliliğidir çünkü bu değişme burada zamangibi/uzaygibi doğada.

Ayrıca bakınız

• Anti-de Sitter uzayı
• de Sitter evreni
• AdS/CFT iletişimi
• Hiperboloid
• De Sitter–Schwarzschild metriği

Kaynakça

• Qingming Cheng (2001), "De Sitter space", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/d/d110040.htm 
• de Sitter, W. (1917), "On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis", Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. 19: 1217–1225 
• de Sitter, W. (1917), "On the curvature of space", Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. 20: 229–243 
• Levi-Civita, Tullio (1917), "Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi", Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei 26: 519–31 
• Nomizu, Katsumi (1982), "The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension", Hokkaido Mathematical Journal 11 (3): 253–261 
• Coxeter, H. S. M. (1943), "A geometrical background for de Sitter's world", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 50 (4): 217–228, DOI:10.2307/2303924, JSTOR 2303924 
• Susskind, L.; Lindesay, J. (2005), An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution:The Holographic Universe, ss. 119(11.5.25)