Fejér teoremi

Matematikte, Fejér' teoremi, Macar matematikçi Lipót Fejér anısınadır, eğer f:R → C durumu 2π periyodu ile bir sürekli fonksiyon ve [-π,π] üzerinde f için düzgün yakınsaklık fin Fourier serisinin kısmi toplamının (s_n) dizisinin Cesàro ortalamasının dizisi ise

Açıkça,

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}$

burada

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt,}$

ve

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt,}$

ile F_n in ninci dereceden Fejér çekirdeği olsun.

fonksiyonuna uygulanan teoremin daha genel bir formu mutlaka sürekli değildir Zygmund 1968, Theorem III.3.4. varsayalım ki f L¹(-π,π) içindedir. Eğer sol ve sağ limitler f(x) in f(x₀±0) x₀ da var, veya limitlerin her ikisi eğer aynı işaretin sonsuzu, ise

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).}$

Cesàro ortalamasının sonsuza varlığı veya sapması da ima edilir. Marcel Rieszin bir teoremi ile, Fejér'in teoreminde belirtildiği gibi tam tutar ise (C, 1) σ_n ortalaması Fourier serisinin (C, α) ortalaması ile yerdeğiştirir Zygmund 1968, Theorem III.5.1.

Kaynakça

• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd bas.), Cambridge University Press (yayın: 1988), ISBN 978-0-521-35885-9 .