Feynman ölçeklendirmesi

Feynman parametrizasyonları bir veya daha fazla döngüler ile Feynman diyagramlarından kaynaklanan döngü integrali değerlendirmek için bir tekniktir. Ancak, bazen saf matematik alanlarında entegrasyonu yararlıdır

Richard Feynman şunu gözlemiştir:

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}}$

bu gibi integralleri değerlendirilmesini kolaylaştırır:

${\displaystyle \int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}.}$

Daha genel olarak, Dirac delta fonksiyonu kullanılır:

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (u_{1}+\dots +u_{n}-1)}{\left[u_{1}A_{1}+\dots +u_{n}A_{n}\right]^{n}}}.}$

Daha da genel olarak,tüm ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ve ${\displaystyle {\text{Re}}(\alpha _{j})>0}$ için şunu sağlar:

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (\sum _{k=1}^{n}u_{k}-1)u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left[u_{1}A_{1}+\cdots +u_{n}A_{n}\right]^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}.}$ ^[1]

Ayrıca Schwinger parametrizasyonu kullanılır.

Türev

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}={\frac {1}{A-B}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right)={\frac {1}{A-B}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.}$

Şimdi sadece yerine koyma kullanarak doğrusal integrali dönüşümü,

${\displaystyle du=dz/(A-B)}$ so ${\displaystyle z=uA+(1-u)B}$ ya bu ${\displaystyle u=(z-B)/(A-B)}$ yol açar

ve istenilen sonucun eldesi:

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}.}$

Kaynakça

1. Kristjan Kannike. "Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function". 2007-07-29 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20070729015208/http://www.physic.ut.ee/~kkannike/english/science/physics/notes/feynman_param.pdf. Erişim tarihi: 2011-07-24.