Fourier-Bessel serisi

Matematik'te, 'Fourier-Bessel serileri' Bessel fonksiyonu'na dayanarak belli bir tür Genelleştirilmiş Fourier serisi'ne ait (sonlu bir aralıkta sonsuz dizi açılımdır).

Fourier-Bessel serileri silindirik koordinat'da özellikle kısmi diferansiyel denklem, sistemlerinin çözümünde kullanılır.

Tanımı

Fourier-Bessel serileri Silindirik koordinat sistemi'nin ρ koordinatının bir Fourier açılımı olarak düşünülebilir. Tıpkı Fourier serileri'nin sonlu bir aralık için sürekli Fourier Dönüşümü sonsuz aralıkta tanımlanan ve bir muadilidir,yani Fourier-Bessel serileri,sonsuz aralığında bir muadili olan Hankel dönüşümü'ne sahiptir. Çünkü Bessel fonksiyonu'nun ${\displaystyle x}$'ın ${\displaystyle [0,b]}$ aralığında bir ağırlık fonksiyonu ile ilgili ortogonalliği vardır Fourier-Bessel serilerinin tanımı içinde seriye açılabilir

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}J_{\alpha }(\lambda _{n}x/b)}$,

burada ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$'in nini sıfırıdır.Bu seri sınır koşulu ${\displaystyle f(b)=0}$ ile ilişkilidir.

ortogonallik ilişkisinden

${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(x\lambda _{m})\,J_{\alpha }(x\lambda _{n})\,dx={\frac {\delta _{mn}}{2}}[J_{\alpha +1}(\lambda _{n})]^{2}}$,

katsayıları

${\displaystyle c_{n}={\frac {\int _{0}^{b}x\,J_{\alpha }(\lambda _{n}x/b)\,f(x)\,dx}{\int _{0}^{b}xJ_{\alpha }^{2}(\lambda _{n}x/b)dx}}={\frac {\langle f,J_{\alpha }(\lambda _{n}x/b)\rangle }{\|J_{\alpha }(\lambda _{n}x/b)\|^{2}}}.}$

tarafından verilmiştir

Alt integral değerlendirilebilir

${\displaystyle c_{n}={\frac {\int _{0}^{b}x\,J_{\alpha }(\lambda _{n}x/b)\,f(x)\,dx}{b^{2}J_{\alpha \pm 1}^{2}(\lambda _{n})/2}}}$,

burada artı ya da eksi işareti aynı derecede geçerlidir

Dini serisi

Ayrıca Dini serisi olarak bilinen ikinci bir Fourier-Bessel serileri ile Robin sınır koşulu ilişkilidir.

${\displaystyle bf'(b)+cf(b)=0}$ burada ${\displaystyle c}$ keyfi bir sabittir.

Dini serisi

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b)}$,

ile tanımlanabilir.

burada ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle xJ'_{\alpha }(x)+cJ_{\alpha }(x)}$'in n inci sıfırıdır.

${\displaystyle b_{n}={\frac {2\gamma _{n}^{2}}{b^{2}(c^{2}+\gamma _{n}^{2}-\alpha ^{2})J_{\alpha }^{2}(\gamma _{n})}}\int _{0}^{b}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b)\,f(x)\,x\,dx}$.

Kaynakça

• Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd bas.). New York: McGraw-Hill. 
• Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Soni, Raj Pal (1966). Formulas and Theorems for Special Functions of Mathematical Physics. Berlin: Springer. 

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric. W. "Fourier-Bessel Series". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 10 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20151210183538/http://mathworld.wolfram.com/Fourier-BesselSeries.html. 
• Fourier–Bessel series applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio's research page

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Ortogonalite
• Genelleştirilmiş Fourier serisi
• Hankel dönüşümü
• Neumann polinomları

Şablon:Mathanalysis-stub