Gauss yasası

Gauss yasası, başlıca fizik (doğabilim) ve matematiksel çözümleme alanlarında kullanılır. Elektrik bağlamında, bu yasa kapalı bir yüzeyin dışına akan elektriksel akı ile, yüzey içerisinde kalan elektriksel yük arasındaki bağıntıyı tanımlar. Elektrik ile sınırlı kalmayıp ters kare yasasının etkin olduğu her duruma uygulanabilir. Örneğin, yerçekimsel güçler söz konusu olduğunda, benzer biçimde yüzey içerindeki kütle ile dışa akan yerçekimsel akı arasındaki bağıntıyı tanımlar. Elektromıknatıslık kuramının tabanını oluşturan dört denklemden biridir.

Kısa mantığı herhangi bir kapalı yüzeyden geçen elektrik akısı, yüzeyin sarmaladığı net yükün ${\displaystyle {\varepsilon _{0}}}$'a bölümüdür. Gauss kanununun uygulanabilmesi için yük etrafında uygun kapalı yüzeyler seçilmelidir. Örneğin A alanlı bir V hacmi için Gauss yasası2.56388409

şeklindedir. ${\displaystyle \Phi _{E,A}}$ a alanından geçen elektrik akısıdır. Yüksek simetrili bölgelerde elektrik alan hesabı Gauss yüzeyi çizilerek yapılabilir. Yani problem sınırlanarak daha kolay bir biçimde çözülür. Örneğin küresel bir kabuk için Gauss yüzeyi çizilir veya sonsuz büyüklükte bir yük düzlemi (yüzeyde ${\displaystyle \sigma }$ yük yoğunluğu olan büyük iki boyutlu düzlem) için Gauss tableti çizilerek simetriye göre alan denklemi ifade edilir. Bu yöntemle karma sistemlerde elektrik alan hesabı daha kolaydır.

Gauss Yasasının İntegral Şekli

${\displaystyle \Phi }$ akısı yüzey integrali ile ifade edilir. ${\displaystyle A}$ yüzeyi üzerinden integral alındığında elektrik akısı yazılabilir:

${\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Gauss yasası;

${\displaystyle \oint _{A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

şeklinde olmalıdır. Bu yazım, Gauss yasasının integral şekli olarak bilinir. Örneğin küresel kabuk probleminde çizilen Gauss yüzeyinin sınırları ile integral alınırsa integral biçimli Gauss yasasından elektrik alan yazılabilir. Simetriden dolayı elektrik alan yarıçap vektörü doğrultusundadır.

Gauss Yasasının Diferansiyel Şekli

Diferansiyel formda Gauss yasası;

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

şeklindedir. Bu yazım diverjans teoremi yardımıyla ifade edilmiştir.

İspat:

Gauss yasasının integral şekli yük yoğunluğu cinsinden de yazılabilir.

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}=\iiint \limits _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\ \mathrm {d} \tau ,}$

Diverjans teoremi;

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} \tau }$

şeklinde olduğunu söyler. Alan integrali yük yoğunluğu cinsinden yazılırsa;

${\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\ \mathrm {d} \tau =\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} \tau }$

bulunur. Böylece diferansiyel şeklindeki Gauss yasası elde edilir:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$.