Harmonik fonksiyon

Halka üzerine tanımlanmış bir harmonik fonksiyon.

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rⁿ'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : U → R şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$

denklemini sağlayan iki kere türevlenebilir bir fonksiyondur. Bu denklem aynı zamanda

${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$ veya ${\displaystyle \ \Delta f=0}$

olarak da yazılmaktadır. Bunun haricinde bariz bir şekilde daha zayıf olan bir tanım daha vardır. Aslında, bir fonksiyon ancak ve ancak zayıf harmonikse, harmoniktir.

Harmonik fonksiyonlar aynı zamanda Laplace-de Rham operatörü ${\displaystyle \Delta }$ kullanılarak herhangi bir Riemann manifoldunda da tanımlanabilirler. Bu bağlamda, bir fonksiyonsa eğer ${\displaystyle \ \Delta f=0.}$ ise harmonik denilir.

${\displaystyle \Delta f\geq 0}$ denklemini sağlayan ve A ${\displaystyle C^{2}}$ olan bir fonksiyona altharmonik adı verilir.

Örnekler

İki değişkenli harmonik fonksiyon örnekleri şunlardır:

• herhangi bir holomorf fonksiyonun gerçel ve sanal kısımları
• R² \ {0} 'de tanımlı

f(x₁, x₂) = ln(x₁² + x₂²)

fonksiyonu (yani çizgi yükü nedeniyle oluşan elektrik potansiyeli ve uzun silindirik kütle nedeniyle oluşan yerçekimi potansiyeli)

• f(x₁, x₂) = exp(x₁)sin(x₂).

n değişkenli harmonik fonksiyon örnekleri şunlardır:

• Rⁿ 'nin tümündeki sabit, doğrusal ve afin fonksiyonları (örneğin, bir kapasitör levhalarının arasındaki elektrik potansiyeli ve bir tablanın yerçekimi potansiyeli)
• n ≥ 2 için, Rⁿ \ {0} üzerindeki f(x₁,...,x_n) = (x₁² + ... + x_n²)^{1 -n/2} fonksiyonu

Üç değişkenli harmonik fonkisyonların örnekleri ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ alınarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Harmonik fonksiyonlar tekillikleri tarafından belirlenirler. Harmonik fonksiyonların tekil noktaları aşağıda elektrostatik terminolojisi kullanılarak "yük" ve "yük yoğunluğu" olarak açıklanmıştır ve böylece karşılık gelen harmonik fonksiyon bu yük dağılımlarından dolayı elektrostatik potansiyeline oranlı olacaktır. Aşağıdaki her fonksiyon bir sabit ile çarpıldığında, döndürüldüğünde ve/veya fonksiyona bir sabit eklendiğinde yine başka bir harmonik fonksiyon verecektir. Her fonksiyonun tersi (burada ters, görüntüler metodu anlamında kullanılmıştır) küresel "ayna"da orijinal tekilliklerin görüntüsü olan tekilliklere sahip başka bir harmonik fonksiyonu verecektir.

Fonksiyon	Tekillik
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	Orijindeki birim nokta yükü
${\displaystyle {\frac {x}{r^{3}}}}$	Orijindeki x-yönlü dipol
${\displaystyle -\ln(r^{2}-z^{2})\,}$	Tüm z-ekseni üzerinde birim yük yoğunluğunun doğrusu
${\displaystyle -\ln(r+z)\,}$	Negatif z-ekseni üzerinde birim yük yoğunluğunun doğrusu
${\displaystyle {\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,}$	Tüm z-ekseni üzerinde x-yönlü dipoller doğrusu
${\displaystyle {\frac {x}{r(r+z)}}\,}$	Negatif z-ekseni üzerinde x-yönlü dipoller doğrusu

Notlar

Açık bir U kümesi üzerindeki harmonik fonksiyonlar kümesi Laplace operatörü Δ'nın çekirdeği olarak düşünülebilir ve bu yüzden R üzerinde bir vektör uzayıdır: Harmonik fonksiyonların toplamları, farkları ve bir katsayıyla çarpımları yine harmonik fonksiyondur.

f eğer U üzerinde harmonikse, o zaman f 'nin bütün kısmi türevleri yine U üzerinde harmoniktir. Laplace operatörü Δ ve kısmi türev operatörü bu fonksiyonlar sınıfında değişmeli olurlar.

Değişik yollarla, harmonik fonksiyonlar holomorf fonksiyonların gerçel analoglarıdır. Bütün harmonik fonksiyonlar analitiktir; yani yerel olarak kuvvet serileri olarak ifade edilebilirler. Bu, Laplasyen'in de büyük bir örneği olduğu eliptik operatörlerin genel bir gerçeğidir.

Yakınsak bir harmonik fonksiyonlar dizisinin düzgün limiti yine harmoniktir. Bu doğrudur çünkü ortalama değer özelliğini sağlayan sürekli herhangi bir fonksiyon harmoniktir. ($-\infty$, 0) × R üzerinde ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny)}$ şeklinde tanımlanmış dizi ele alınsın. Bu dizi harmoniktir ve sıfır fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsar. Bununla birlikte, kısmi türevler sıfır fonksiyonuna (yani sıfır fonksiyonunun türevi olan sıfır fonksiyonuna) düzgün bir şekilde yakınsamaz. Bu örnek, limitin harmonik olduğunu tartışırken ortalama değer özelliğini ve sürekliliği göz önüne almanın önemini göstermektedir.

Karmaşık fonksiyon teorisiyle bağlantıları

Holomorf herhangi bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmı R² üzerinde harmonik fonksiyonlar verecektir. Tersine, R² 'deki bir bölgede u gibi harmonik fonksiyonu alıp u 'nun v harmonik eşleniğine götüren ve u+iv 'nin holomorf olduğu bir operatör mevcuttur. v burada gerçel bir sabite kadar iyi tanımlıdır. Bu gerçek uygulamalarda, özellikle Hilbert dönüşümünde iyi bilinen bir gerçektir. Ayrıca, tekil integral operatörleri ile bağlantılı olarak matematiksel analizde de basit bir örnektir. Geometrik olarak, u ve v 'nin , temelde yatan holomorf fonksiyonun sıfırların uzağında dik yörüngeye sahip olmak bağlamında ilişkileri vardır; u ve v 'nin sabit olduğu kontürler birbirlerini dik açı ile keserler. Bu bağlamda, u potansiyel fonksiyon olursa ve v akış fonksiyonu olursa, o zaman u+iv de karmaşık potansiyel olur.

Harmonik fonksiyonların özellikleri

Harmonik fonksiyonların bazı önemli özellikleri Laplace denklemindeb çıkarılabilir.

Harmonik fonksiyonlar için düzgünlük teoremi

Harmonik fonksiyonlar sonsuz kere türevlenebilirler. Aslında, harmonik fonksiyonlar gerçel analitiktir.

Maksimum ilkesi

Harmonik fonksiyonlar şu maksimum ilkesini sağlarlar: Eğer K, U 'nun tıkız bir kümesiyse, o zaman f 'nin K 'ye olan sınırlaması maksimum ve minimum değerlerini K 'nin sınırı üzerinde alır. U bağlantılı olursa yukarıdaki ifade f 'nin yerel maksimum veya minimuma sahip olamayacağı anlamına gelir (burada f sabit olmayacak şekilde düşünülmüştür). Benzer özellikler altharmonik fonksiyonlar için de gösterilebilir.

Ortalama değer özelliği

B(x,r), U içinde tamamen yer alan, x merkezli ve r yarıçaplı bir topsa, o zaman f harmonik fonksiyonunun merkezdeki değeri yani f(x), f 'nin topun yüzeyinde aldığı değerlerin ortalama değeriyle verilir. Bu ortalama değer ayrıca f 'nin topun içindeki değerlerinin ortalamasına da eşittir. Başka bir deyişle, n boyutta ${\displaystyle \omega _{n}}$, birim kürenin yüzey alanı ise

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n-1}}}\oint _{\partial B(x,r)}u\,dS={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV.}$

Liouville teoremi

Eğer harmonik bir f fonksiyonu, alttan veya üstten sınırlı bir şekilde Rⁿ 'de tanımlı ise, o zaman f sabittir (Karmaşık değişkenli fonksiyonların Liouville teoremiyle karşılaştırınız).

Genelleştirmeler

Harmonik fonksiyonların genelleştirmelerinden birisi Riemann manifoldları üzerindeki harmonik formlardır ve kohomoloji ile ilgilidir. Ayrıca, vektör değerli harmonik fonksiyonları veya genelleştirilmiş Dirichlet enerji fonksiyonelinin kritik noktaları olan iki Riemann manifoldunun harmonik gönderimlerini de tanımlamak mümkündür (bu harmonik fonksiyonları özel bir durum olarak içerir, Dirichlet ilkesi olarak bilinir). Bu tür harmonik gönderimler minimal yüzeyler teorisinde ortaya çıkmaktadır. Mesela, R 'den bir Riemann manifolduna bir gönderim olan bir eğri, ancak ve ancak jeodeziyse harmonik gönderimdir.

Ayrıca bakınız

• Dirichlet problemi
• Isı denklemi
• Laplace denklemi
• Poisson denklemi
• Dörtlük bölgeler
• Altharmonik fonksiyon

Kaynakça

• L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
• D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
• Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society

Dış bağlantılar

• MathWorld'deki Harmonik Fonksiyon bilgisi
• Harmonik Fonksiyonlar Modülü, John H. Mathews tarafından
• Harmonik Fonksiyon Teorisi, S.Axler, Paul Bourdon ve Wade Ramey tarafından