Hiperbolik üçgen

Bir hiperbolik sektörün hiperbolik üçgeni ile karıştırılmamalıdır

Hiperbolik geometride, hiperbolik üçgen hiperbolik düzlemdeki bir üçgendir ve üç doğru parçasının içerdiği kavramlara yüzler veya köşeler ve üç noktanın içerdiğine ise açılar veya kenarlar denir.

Sadece Öklid durumu içinde bile, üç nokta bir keyfi boyutun bir hiperbolik uzayının üç noktası her zaman aynı düzlemdedir. Dolayısıyla düzlemsel hiperbolik üçgenler,hiperbolik alanlarda herhangi bir yüksek boyutta mümkün üçgenleri açıklar.

Hiperbolik üçgen ile hiperbolik düzlemin bir döşemesi– derece-7 üçgen döşemesi.

Tanım

Bir hiperbolik üçgenin üç doğrudaş-olmayan noktaları aralarında ve üç bölümden oluşmaktadır.^[1] Açılar ve taraflar arasında ilişkiler,Küresel trigonometri'ninkine analogdur.Uzunlukları bir radyan'a benzer uzunlukta özel bir birim cinsinden ölçülür .^[2] Düzlemin Gauss eğriliği K ile bu birim şöyle verilir.

${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}.}$

Hiperbolik bir üçgen içinde A, B, C açıların toplamı (karşılık gelen harfi ile yan karşıt) bir düz açıdan kesinlikle daha azdır. yanı sıra bu,toplamı Öklid üçgenilerindeki dik açıya eşittir tezat olarak her zaman , bu toplam küresel üçgen'lerde büyüktür.Fark genellikleüçgenin kusuru olarak adlandırılır.Hiperbolik bir üçgenin bölgesi R karesi ile kusuru çarpılarak bulunur:

${\displaystyle (\pi -A-B-C)R^{2}{}{}.\!}$ İlk Johann Heinrich Lambert tarafından kanıtlanmış Bu teoreme,^[3] küresel geometride Girard teoremi'ne karşılık gelir.Iki aşağıda belirtilen tüm formüllerde,a,b ve c bu birimde ölçülmelidir.Diğer bir deyişle, R nin 1'e eşit olması gerekiyordu.

Ideal köşeler

sonsuz dereceden üçgen döşemesi içinde ideal üçgenler {3,∞}

Bir üçgenin tanımı düzlemin kendisi dışındaki köşeler için izin verilerek, ancak düzlemde taraf tutarak, genelleştirilmiş olabilir. taraf bir çift asimptotik ise (aralarında yani uzakta kaybolur ama onlar kesişme yok), sonra da bir omega noktası olarak gösterilen ideal bir köşe de biter. Bu tür taraf çift de sıfırın bir açısını oluşturacak şekilde söylenebilir. O ayrı çizgiler yatarken düz taraf için Öklid geometrisi mümkün değildir. Yine de böyle sıfırın açıları teğet çember ile ortaktır.

Bir ideal köşe ile bir üçgen bir omega üçgen denir. Her üç köşe İdeal ise, o zaman çıkan rakama ideal üçgen denir. Bu son açılarının toplamı sıfır ile karakterizedir.

Dik açılar

hiperbolik üçgenlere için trigonometri formüllere bağlı olan hiperbolik fonksiyonlar sinh, cosh, ve tanh: Eğer C bir dik açı ise:

• A açısının sine hipotenüsün hiperbolik sineye karşı taraf açısına hiperbolik sine in kesridir.

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {sinh(opposite)}}{\textrm {sinh(hypotenuse)}}}={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,}$

• A cosine açısının bitişik bacağın hiperbolik tanjantının kesri hipotenüsün hiperbolik tanjantıdır .

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {tanh(adjacent)}}{\textrm {tanh(hypotenuse)}}}={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,}$

• A açısının tanjantı karşı bacağın hiperbolik tanjantının kesridir bitişik bacağın hiperbolik sine .

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {tanh(opposite)}}{\textrm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}.}$

İdeal dik üçgenin örneği üçgeninde paralellik açısını incelemek için yapılandırmayı sağlar.

Oblik üçgenler

C nin bir dik açı veya değil olup olmaması,aşağıdaki ilişkililiği kapsar: Hiperbolik kosinüs yasası aşağıdadır:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,}$

O çifttir

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,}$

Buradaki ayrıca bir sinüs kurallarıdır:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}},}$

ve bir dört-çift formül:

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B.}$

Ayrıca bakınız

• pantolon çifti (matematikler)
• Üçgen grubu

Kaynakça

1. Stothers, Wilson (2000), Hyperbolic geometry, University of Glasgow, http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html , interactive instructional website
2. For instance, the absolute length scales for both spherical geometry (the radian) and hyperbolic geometry can be defined as the perimeters of equilateral triangles with fixed angular defects; see Needham, Tristan (1998), Visual Complex Analysis, Oxford University Press, ss. 270, ISBN 9780198534464, http://books.google.com/books?id=ogz5FjmiqlQC&pg=PA270 . As with the radian, the choice of units for this length scale is the one that makes the area formula as simple as possible.
3. Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149, Springer, ss. 99, ISBN 9780387331973, http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99 

Daha ileri okuma

• Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups, University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5