Küresel kapak

Dairesel kapak mor kesittir.

Küresel kapak veya küresel kubbe geometride bir terimdir. Bir kürenin bir kısmı ve bir düzlem ile kesilir. Eğer düzlem kürenin merkezinden geçer, böylece kapağın yüksekliği kürenin yarıçapına eşittir, küresel kapağa bir yarıküre denir.

Hacim ve yüzey alanı

Eğer kapağın tabanının yarıçapı $a$ ve kapağın yüksekliği ${\displaystyle h}$, ise küresel kapağın hacimi

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),}$ dir

ve küresel kapağın eğri yüzey bölgesidir

${\displaystyle A=2\pi rh.}$

${\displaystyle h}$ ve ${\displaystyle r}$ arası ilişki sürece ilgisizdir${\displaystyle h>0}$ ve ${\displaystyle h<2r}$. Açıklamada mavi bölüm ayrıca küresel bir başlıktır..

Parametreler $a$, ${\displaystyle h}$ ve ${\displaystyle r}$ bağımsız değildir:

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},}$

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}$.

Bu bölge formulü içinde yerine konarak verilirse:

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).}$

Ayrıca diyagramın üst yarıküre içinde, ${\displaystyle \scriptstyle h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$, ve in the alt yarıküre ${\displaystyle \scriptstyle h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$; bundan dolayı in ya da yarıküre ${\displaystyle \scriptstyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}$ ve böylece hacim için bir alternatif bağıntı

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$.

Uygulamalar

buradaki tüm noktaların hacmi kesişen iki küreler r₁ ve r₂ yarıçaplarının en az birindedir

^[1]

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}}$,

burada

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

iki yalıtılmış kürenin toplamıdır, ve

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

kesişmiş iki küresel kapakların toplamıdır. Eğer d <r₁+r₂ iki küre merkezleri arası uzunluk , değikenlerin eliminasyonu h₁ ve h₂ yoluyla ^{[2] [3]}

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}[d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}].}$

Genelleştirme

Diğer katı kesitleri

küresel kubbe bir sferoidin kapalı bölgesi ile elde edilir böylece the resulting kubbe is çembersel simetrik rotasyonun bir ekseni var), ve elipsoide kubbeye benzer elipsoidten türetilir.

Hiperküresel kapak

Genel olarak,${\displaystyle h}$ yüksekliğinin bir hiperküresel kapağın ve yarıçapı ${\displaystyle n}$-boyutlu hacmi ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$-boyutlu Öklidyen uzay içinde ^[4]

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$ ile verilir.

burada ${\displaystyle \Gamma }$ (gama fonksiyonu) ile ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$ verilir.

formül için ${\displaystyle V}$ birim n-kürenin hacim terimlerinin içinde ifade edilebilir ${\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}$ ve hipergeometrik fonksiyon ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ veya düzenli tamamlanmamış beta fonksiyonu ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$as

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

ve ${\displaystyle A}$ bölge formülü birim n-kürenin bölgenin terimleri içinde ifade edilebilir ${\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$ nin bölgenin as

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

burada ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq h\leq r}$.

Ayrıca bakınız

• Daire segmenti-benzer 2D nesne.
• Kubbe (matematik)
• Katı açı-n-küre kapaklar için formül içerir
• Küresel bölüm
• Küresel sektör
• Küresel kama

Kaynakça

1. Connolly, Michael L. (1985). "Computation of molecular volume". J. Am. Chem. Soc: 1118–1124. DOI:10.1021/ja00291a006. 
2. Pavani, R.; Ranghino, G. (1982). "A method to compute the volume of a molecule". Comput. Chem.. DOI:10.1016/0097-8485(82)80006-5. 
3. Bondi, A. (1964). "van der Waals volumes and radii". J. Phys. Chem. (68): 441–451. DOI:10.1021/j100785a001. 
4. Li, S. (2011). "Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap". Asian J. Math. Stat. 4 (1): 66–70. doi:10.3923/ajms.2011.66.70

• Richmond, Timothy J. (1984). "Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect". J. Molec. Biol. 178 (1): 63–89. DOI:10.1016/0022-2836(84)90231-6. 
• Lustig, Rolf (1986). "Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration". Mol. Phys. 59 (2): 195–207. Bibcode 1986MolPh..59..195L. DOI:10.1080/00268978600102011. 
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula". J. Phys. Chem. 91 (15): 4121–4122. 
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii". Mol. Phys. 62 (5): 1247–1265. Bibcode 1987MolPh..62.1247G. DOI:10.1080/00268978700102951. 
• Petitjean, Michel (1994). "On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects". Int. J. Quant. Chem. 15 (5): 507–523. 
• Grant, J. A.; Pickup, B. T. (1995). "A Gaussian description of molecular shape". J. Phys. Chem. 99 (11): 3503–3510. DOI:10.1021/j100011a016. 
• Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: A fortran package for computing the solvent accessible surface area and the excluded volume of overlapping spheres via analytic equations". Comp. Phys. Commun. 165: 59–96. Bibcode 2005CoPhC.165...59B. DOI:10.1016/j.cpc.2004.08.002. 
• Li, S. (2011). "Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap". Asian J. Math. Stat. 4 (1): 66–70. DOI:10.3923/ajms.2011.66.70. .

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Spherical cap (MathWorld), derivation and some additional formulas
• Online calculator for spherical cap volume and area
• Summary of spherical formulas