Kısıtlanmış Lie cebiri

Matematikte, bir 'kısıtlı Lie cebiri' bir Lie cebri ile birlikte ek bir "p operasyonu" dur.

Tanım

Diyelimki bir Lie cebri üzerinde p>0 iken k karakteristiğinin L alanı olsun. Bir p operasyonu ile L şu haritayı ${\displaystyle X\mapsto X^{[p]}}$ karşılıyor:

• ${\displaystyle \mathrm {ad} (X^{[p]})=\mathrm {ad} (X)^{p}}$ bütün ${\displaystyle X\in L}$ lar için,
• ${\displaystyle (tX)^{[p]}=t^{p}X^{[p]}}$bütün ${\displaystyle t\in k,X\in L}$,için
• ${\displaystyle (X+Y)^{[p]}=X^{[p]}+Y^{[p]}+\sum _{i=1}^{p-1}{\frac {s_{i}(X,Y)}{i}}}$, bütün ${\displaystyle X,Y\in L}$,için burada ${\displaystyle s_{i}(X,Y)}$ is ${\displaystyle t^{i-1}}$ katsayısının biçimsel ifadesi ${\displaystyle \mathrm {ad} (tX+Y)^{p-1}(X)}$.

Eğer bu karakteristik k 0 ise,o zaman L bir sınırlı Lie cebridir,burada p operasyonu kimlik haritasıdır. L deki p operasyonu kimliği harita sınırlı bir Lie cebridir.

Örnekler

Herhangi bir A ilişkisel cebri için p karakteristiğinin üzerinde tanımlanan , braket operasyonu ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ ve p operasyonu ${\displaystyle X^{[p]}:=X^{p}}$ A içinde bir kısıtlı Lie cebri ${\displaystyle \mathrm {Lie} (A)}$ yapar.

Diyelimki G karakteristiği olan bir k alanı üzerinde bir cebirsel grup p olsun, ve ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ Zariski tanjant uzayı G elemanının kimliği olmaktadır.Her ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ elemanı G üzerinde sol değişmez vektör alanı tanımlar,ve vektör alanlarının komütatörü gibi Lie grubu durumundadır ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ bir Lie cebri tanımlar.Bu durum sadece Lie grubu içindedir. Eğer p>0,Frobenius haritası ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ her p için ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ operasyonu tanımlar

Kısıtlı genel sarmalayan cebir

Functor(izleç) ${\displaystyle A\mapsto \mathrm {Lie} (A)}$ bir sol ek idi. ${\displaystyle L\mapsto U^{[p]}(L)}$ için kısıtlı genel sarmalayan cebir denir..Bu yapı için,diyelimki ${\displaystyle U(L)}$ kısıtlı genel sarmalayan cebir olsun.Lnin p operasyonunu unutmayalım.Diyebilirki I şeklinde ${\displaystyle x^{p}-x^{[p]}}$, we set ${\displaystyle U^{[p]}(L)=U(L)/I}$ elemanları tarafından oluşturulan iki taraflı idealdir

Ayrıca bakınız

Sınırlı Lie cebiri üs 1 alanlarının tamamen ayrılmaz uzantısı için Jacobson'ın Galois yazışmaları kullanılmaktadır

Kaynakça

• Armand Borel, Linear Algebraic Groups 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics 126, Springer-Verlag.
• Block, Richard E.; Wilson, Robert Lee (1988), "Classification of the restricted simple Lie algebras", Journal of Algebra 114 (1): 115–259, DOI:10.1016/0021-8693(88)90216-5, ISSN 0021-8693, MR 931904