Lie grubu

Şablon:Lie grupları Şablon:Grup kuramı kenar çubuğu

Matematikte, Lie grubu /ˈliː/ bir grup ve ayrıca bu bir diferansiyellenebilir manifolddur, bu özellikleri ile grup işlemler düzgün yapı ile uygundur. Lie gruplar adı Sophus Lie anısınadır,sürekli dönüşüm grupları teorisinin temelleridir.

Lie grupları matematiksel nesne ve yapılarıın sürekli simetrilerinin en gelişmiş teorisini temsil eder, bunlar çağdaş matematiğin birçok yerinde ve hem de modern teorik fizik için onları vazgeçilmez kılan araçlardır. Bu diferansiyel denklemlerin sürekli simetrilerini analiz için dogal bir çerçeve sağlar (diferansiyel Galois teorisi)ve benzer siklikla permutasyon grupları olarak cebrik denklemlerin ayrık simetrilerinin analizi için Galois teorisinde kullanılıyor. Galois teorisinin bir uzantısı olarak sürekli simetri grupları durumu Lie'nin temel motivasyonlarından biriydi.

Genelbakış

merkezi 0 ve yarıçapı 1 çemberin kompleks düzlem içinde bir Lie grup ile kompleks çarpımıdır.

Lie grupları düzgün diferensiyellenebilir manifoldlardir ve daha genel topolojik grupların durumu ile doygunluk içinde diferensiyel hesapta kullanıldığı gibi çalışmalar olabilir. Lie gruplarının teorisi içinde bir anahtar olarak yerini küresel nesne alir, bunun yerel veya dogrusal versiyonu grup ile birlikte Lie'nin kendisi "sonsuzküçük grup" olarak adlandırdı ve ondan bu yana onun Lie cebri olarak biliniyordu

Tanımlar ve örnekler

Bir gerçek Lie grubu bir grup ve ayrıca bir sonlu-boyutlu gerçek düzgün manifolddur, çarpım grubu işlemleri içinde ve tersi düzgün göndermelerdir. Grup çarpımının düzgünlüğü

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

anlamına gelir μ çarpım manifoldu G×G içindeki Gnin bir düzgün gönderimidir.Bu gönderimle iki gereklilik tek gerekliliye kombine edilebilir.

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

G içine çarpım manifoldunun bir düzgün gönderimi olsun.

İlk örnekler

• 2×2 gerçek tersinebilir matrisler çarpım formu altında bir grup,GL(2, R) ile ifade ediliyor:

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

Bu bir dört-boyut tıkız-olmayan gerçek Lie grubudur. Bu grup bağlantısızdır; bu determinantın pozitif ve negatif değerlere karşıgelen iki bağlantılı bileşeni var.

• rotasyon matrisler formu GL(2, R)nin bir altgrubu, SO(2, R) ile ifade edilir. Bu kendi geregi içinde bir Lie grubudur: özellikle, bir tek-boyutlu sıkı bağlantılı Lie grubu çembere difeomorfiktir. Döndürme açısı ${\displaystyle \varphi }$ bir parametre kullanılarak bu grup asağıda

ölçeklendirilebilir olarak:

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}$

SO(2, R)'nin ögelerinin çarpımına karşı açıların toplamı, ve tersine karşılık ters açı alıyor.hem de böylece hem çarpım ve hemde ters açi diferensiyellenebilir gönderimlerdir.

• ortogonal grup ayrı formlarla ilgili bir Lie grup örnekleridir.

Lie gruplarının ilk örneklerinin tümü klasik grupların sınıfı içine düşüyor.

İlişkili kavramlar

Bir karmaşık Lie grup tanımlanıyor aynı yol içinde karmaşık manifoldların kullanılıyor oldukça gerçek olanlardan daha (örnek: SL(2, C)), ve benzer bir p-sel sayılar üzerine bir p-sel Lie grup tanımlanabilir. Hilbert'in beşinci problemi ile türevlenebilir manifold olup olmadığını sordugu topolojik veya analitik yeni örnekler elde edilebilir. Bu sorunun cevabının olumsuz olduğu ortaya çıktı: 1952'de, Gleason, Montgomery ve Zippin gösterdi ki eğer G bir topolojik manifold ile sürekli grup işlemleri ise burada G üzerinde tam olarak bir analitik yapı var bu bir Lie grubu (ayrıca bakınız Hilbert–Smith sanısı)içinde dönüştürülüyor. Eğer manifoldun altındaki sonsuz boyutlu olmasını sağlıyor ise (örneğin, bir Hilbert manifoldu), bir sonsuz-boyutlu Lie grubunun gösterimide olur. Bu birçok sonlu alanlar üzerinde Lie gruplarının benzer tanımlamalarina olasılıktır,ve bu sonlu basit gruplarınöen iyirneklerini veriyor.

Lie grupları için kategori teorisi dili özlü bir tanım sağlar : bir Lie grubu düzgün manifoldların kategorisi içinde bir grup nesnesidir ve bu önemlidir, çünkü o Lie supergruplarına bir Lie grubun gösteriminin genellemesini sağlar.

merkez 0 ve yarıçapı 1 karmaşık düzlemin çemberi içinde bir Lie grubu ile karmaşık çarpımdır.

Lie gruplarının birçok örneği

Lie grupları occur boyunca zenginliği içinde matematik ve fizik. Matris grupları veya cebrik grupları (kabaca)matrislerin gruplarıdır(örnek için, ortogonal ve simplektik gruplar), ve bu en iyi Lie gruplarının daha yaygın örneklerini verir.

Boyutların özel bir sayıda örnekleri

• dairesel grup S¹ mod 2π açısının toplamı altında oluşan veya, karşıt olarak,karmaşık sayılar ile mutlak değer 1 çarpım altında. Bu bir tek-boyutlu sıkı bağlı abeliyen Lie gruptur .
• 3-küre S³ formları bir Lie grup birim normun kuaternionların kümesi ile özdeşleştirilebilir, versorler denir. Yalnızca diğer küreler bir Lie grupun yapısı kabuleden 0-küre S⁰ dir (gerçek sayılar ile mutlak değer 1) ve çember S¹ (karmaşık sayıları ile mutlak değer 1). Örneğin, çift n > 1, Sⁿ için bir Lie grup değil çünkü o bir yokolmayan vektör alanı ve böylece a fortiori bir diferansiyellenebilir manifold olarak paralelleştirilebilir olamaz. Kürenin yalnızca S⁰, S¹, S³, ve S⁷ paralelleştirilebilir. İkincisi bir Lie kuazigrupun yapısı taşır (bir ilişkisel olmayan grup), bu birim oktonionların kümesi ile özdeşleştirilebilir.
• (3-boyut) metaplektik grup SL(2, R)'nin çift örtük modular formlar teorisi içinde bir önemli rol oynuyor.

Bu bir Lie grup sonlu boyutun matrisleri ile özenle gösterilemez bağlantıdır, yani bir nonlineer gruptur.

• Heisenberg grubu bir bağlantı Lie grubu 3 boyutun nilpotentidir,kuantum mekanik içinde anahtar rol oynar.
• Lorentz grubu Minkowski uzayının doğrusal izometrilerinin bir 6 boyutlu Lie grubudur .
• Poincaré grubu Minkowski uzayının afin izometrilerin bir 10 boyutlu Lie grubudur .
• grup U(1)×SU(2)×SU(3) 1+3+8=12 bu boyutun bir Lie gruptur. parçacık fiziği içinde Standard Modelin ölçüm grubudur .Bu boyut standard modelin 1foton + 3 vektor bozonları + 8 gluonlar faktörlere karşılık gelir
• G₂ tiplerin sıradışı Lie grupları F₄, E₆, E₇, E₈ 14, 52, 78, 133, ve 248 boyutları var. basit Lie gruplarının A-B-C-D serisi boyunca, basit Lie gruplarının listesinin tam sıradışı gruplarıdır. Burada ayrıca bir Lie grubu boyut 190'ın adı E_7½dır,ama o bir basit Lie grubu değildir

Örnekleri ile n boyutlar

• Öklid uzayı Rⁿ ile sıradan vektör toplamı grup işlemi olarak bir n-boyutlu sıkı olmayan abeliyen Lie grup alır.
• E(n, R) Öklidyen grup tüm Öklidyen hareketlerin Lie gruplarıdır ,yani Rⁿ n-boyutlu Öklid uzayının izometrik afin göndermeleri.
• Ortogonal grup O(n, R),tüm n × n in oluşturduğu ortogonal matrisler ile gerçek giriş ile bir n(n − 1)/2-boyutlu Lie gruptur. Bu grup bağlantısızdır, ama ona bir bağlantılı determinant 1 ortogonal matrislerin oluşturduğu aynı boyutun SO(n, R) altgrubudur,özel ortogonal grup denir (n = 3 için rotsyon grubu SO(3)).
• Birimsel grup U(n) n × nin oluşturduğu birimsel matrisler (karmaşık giriş ile) bir sıkı bağlantılı n² boyutun Lie gruptur. Determinant 1 formu boyut n² − 1 kapalı bağlı alt grup birim matrisler SU(n) ile ifade edilir ,özel birimsel grup.
• Spin gruplar özel ortogonal grupların çift örtükleridir ,kuantum alan teorisi içinde fermiyonların (diğer şeylerin yanı sıra) çalışması için kullanılıyor
• Tersinebilir matrislerin grup GL(n, R) (matris çarpımı altında) bir n² boyutun Lie gruptur,genel doğrusal grup denir.Bu bir kapalı bağlantılı altgrup SL(n, R),özel doğrusal grup,determinant 1'in matrislerini oluşturur bu ayrıca bir Lie grubudur.
• Simplektik grup Sp(2n, R) tüm 2n × 2n matrislerin oluşturduğu preserving R²ⁿ üzerinde bir simplektik form. Bu boyutun bağlı bir Lie grubu 2n² + n.
• tersinebilir üst üçgen n den ne matrislerin grubu boyut n(n + 1)/2.'in bir çözülebilir Lie grubudur (cf. Borel altgrup)
• A-serileri, B-serileri, C-serileri ve D-serileri olan ögelerin grupları A_n, B_n, C_n, ve D_n ile ifade edilir ,basit Lie gruplarının tanımsız aileleridir.

Yapımlar

Burada eski olanlardan yeni formuna Lie gruplarının birkaç standard yolları:

• İki Lie grubunun çarpımı yine bir Lie grubudur.
• Herhangi bir Lie grubunun topolojik kapalı altgrubu bir Lie grubudur. Bu Cartan'ın teoremi olarak bilinir.
• Kapalı bir, normal alt grup tarafından bir Lie grubunun bir bölümü bir Lie grubudur..
• Bir bağlantılı Lie grubunun evrensel örtüğü bir Lie gruptur. Örneğin, grup R S¹ çember grubunun evrensel örtüğüdür. Aslında bir türevlenebilir manifoldun herhangi örtü de türevlenebilir manifoldu olduğunu, ama evrensel örtü özelliği ile,bir grup yapısı bir garantidir(onun diğer yapılar ile uyumludur).

İlişkili gösterimler

grupların bazı örnekleri bu Lie grupları değildir(önemsiz duyarlılıkta içinde var bu herhangi grup bir 0-boyutlu Lie grup olarak gösterimlenebilir, ayrık topoloji ile :

• Böyle bir sonsuz boyutlu reel vektör uzay katkı grup olarak sonsuz boyutlu gruplar. sonlu boyutlu manifoldlar olmadığı gibi bu gruplar Lie değildir
• Bazı tamamen bağlantısız gruplar, böylece alanların bir sonsuz uzantısının Galois grubudur, veya p-adik sayıların toplam grubudur. çünkü burada bu Lie gruplarının altında yatan uzay gerçek manifoldlar değildir. (bu grupların bazıları "p-adik Lie grupları"dır). Genel olarak, yalnızca topolojik grupların bazı n pozitif tamsayılar için Rⁿ ye benzer yerel özellikleri varolan Lie grupları olabilir (Tabii onlar da bir türevlenebilir bir yapıya sahip olmalıdır)

Ayrıca bakınız

• Lie alt grubu
• E₈
• Bir Lie grubunun eşlenik gösterimi
• Eşlenik endomorfizma
• Haar ölçüsü
• Homojen uzayı
• Lie grubu konularının listesi
• Basit Lie gruplarının listesi
• Moufang çokgeni
• Riemann manifoldu
• Lie grupları Temsilleri
• Lie gruplarının Tablo
• Lie cebiri
• kuantum mekaniğinde simetri
• Lie grup eylem

Notlar

Kaynakça

• Adams, John Frank (1969), Lectures on Lie Groups, Chicago Lectures in Mathematics, Chicago: Univ. of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5 .
• Borel, Armand (2001), Essays in the history of Lie groups and algebraic groups, History of Mathematics, 21, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5, MR 1847105, http://books.google.com/books?isbn=0821802887 
• Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics: Lie groups and Lie algebras . Chapters 1–3 ISBN 3-540-64242-0, Chapters 4–6 ISBN 3-540-42650-7, Chapters 7–9 ISBN 3-540-43405-4
• Chevalley, Claude (1946), Theory of Lie groups, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04990-4 .
• Şablon:Fulton-Harris
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9 .
• Hawkins, Thomas (2000), Emergence of the theory of Lie groups, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98963-1, MR 1771134, http://books.google.com/books?isbn=978-0-387-98963-1  Borel's review
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, 140 (2nd bas.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5 .
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7 . The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
• Serre, Jean-Pierre (1965), Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University, Lecture notes in mathematics, 1500, Springer, ISBN 3-540-55008-9 .
• Steeb, Willi-Hans (2007), Continuous Symmetries, Lie algebras, Differential Equations and Computer Algebra: second edition, World Scientific Publishing, ISBN 981-270-809-X .
• Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010