Kalıntı (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde kalıntı veya rezidü, bir meromorf fonksiyonun bir tekillik etrafındaki çizgi integrallerinin davranışını açıklayan bir karmaşık sayıdır. Kalıntılar oldukça kolay bir şekilde hesaplanabilir ve bilindiklerinde kalıntı teoremi sayesinde çok karışık gerçel integrallerin belirlenmesi yolunu açarlar.

Tanım

Meromorf bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun korunmalı bir $a$ tekilliğindeki kalıntısı, ki genelde ${\displaystyle Res(f,a)}$ ile gösterilir^[1], ${\displaystyle f(z)-{R \over (z-a)}}$ ifadesini ${\displaystyle 0<|z-a|<\delta }$ delikli diskinde analitik terstüreve sahip yapan biricik ${\displaystyle R}$ değeridir. Dönüşümlü olarak, kalınıtılar bazen Laurent serisi açılımları bulunarak da hesaplanabilir ve bazen de bu seri açılımları bağlamında tanımlanırlar.

Motivasyon

Örnek olarak, C 'nin 0 civarında Jordan eğrisi olduğu

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

integralini ele alalım.

Bu integrali elimizde var olan standard integral teoremlerini kullanmadan bulalım. e^z 'nin Taylor serisini bildiğimiz için, bunu integrali alınan ifadeye (integranda) koyalım. O zaman integral

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz}$

halini alır. 1/z⁵ 'i de içeriye atarsak, integral şu hale gelir:

${\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz}$

${\displaystyle =\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

Şimdi integral daha basit bir biçim aldı.

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,{\mbox{ }}a\neq 1}$

olduğunu hatırlayalım. Böylece, cz⁻¹ biçiminde olmayan her terimin C etrafındaki integrali sıfır olur ve integral de şu hale gelir:

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

1/4! değeri e^z/z⁵ 'in z = 0 'daki kalıntısıdır ve şu hallerde gösterilir.

${\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},\ \mathrm {veya} \ \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},\ \mathrm {veya} \ \mathrm {Res} (f,0).}$

Karmaşık düzlemde D = {z : 0 < |z - c| < R} delikli diski verilmiş olsun ve f de (en azından) D üzerinde holomorf bir fonksiyon olsun. f nin c noktasındaki kalıntısı olan Res(f, c), f 'nin c noktasındaki Laurent serisi açılımında (z - c)⁻¹ ifadesinin a_-1 katsayısıdır. Bir basit kutupta, kalıntı

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)}$

ile verilir.

Cauchy integral formülüne göre,

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }f(z)\,dz}$

olmaktadır. Burada γ, c etrafında saat yönünün tersine yönde bir çember çizmektedir. γ'yı c etrafında istediğimiz kadar küçük yapabileceğimiz bir ε yarıçaplı çember olarak seçebiliriz.

g ve h 'nin c 'nin bir komşuluğunda h(c) = 0 ve g(c) ≠ 0 olacak şekilde holomorf fonksiyonlar olduğu f(z)=g(z)/h(z) fonksiyonunun bir c basit kutbundaki kalıntısı

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c)}}}$

ile verilir. Daha genel olarak, f 'nin mertebesi n olan bir z = c kutbundaki kalıntısı

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \lim _{z\to c}\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n-1}\left(f(z)\cdot (z-c)^{n}\right)}$

formülü ile bulunabilir.

Eğer fonksiyon { z : |z - c| < R } diskinde holomorf olan bir fonksiyona devam ettirelebiliyorsa, o zaman Res(f, c) = 0 olur. Bunun tersi de genel de doğru değildir.

En son formül, düşük mertebeli kutuplardaki kalıntıları bulmak için faydalı olabilir. Yüksek mertebeli kutuplar için seri açılımını kullanmak daha kolaydır.

Seri yöntemleri

Bir fonksiyonun bir parçası veya tümü Taylor serisi veya Laurent serisi şeklinde açılabiliyorsa, o zaman kalıntıyı hesaplamak diğer yöntemlerden epeyce daha kolaydır.

Örnek olarak, bazı belli kontür integrallerini bulmaya yarayabilecek,

${\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z^{2}-z}}$

fonksiyonunun tekilliklerindeki kalıntılarını bulalım. Bu fonksiyonun açık bir şekilde z = 0 noktasında tekilliği vardır. Bununla birlikte, payda çarpanlarına ayrılıp

${\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z(z-1)}}$

şeklinde yazılırsa, bu tekilliğin kaldırılabilir tekillik olduğu açıktır ve bu yüzden bu z = 0 noktasındaki kalıntı 0'dır.

Diğer tek tekillik ise z = 1 noktasındadır. Bir g(z) fonksiyonunun z = a noktasındaki Taylor serisinin ifadesinin

${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$

olduğunu hatırlayalım. O zaman, g(z) = sin z ve a = 1 için şunu yazabiliriz:

${\displaystyle \sin {z}=\sin {1}+\cos {1}(z-1)+{-\sin {1}(z-1)^{2} \over 2!}+{-\cos {1}(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}$

Ayrıca, g(z) = 1/z ve a = 1 için

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$

yazabiliriz.

Bu iki seriyi çarparak ve 1/(z - 1) ifadesini koyarak

${\displaystyle {\frac {\sin {z}}{z(z-1)}}={\sin {1} \over z-1}+(\cos {1}-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin {1}}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$

açılımını elde ederiz. Böylece, f(z) 'nin z = 1 noktasındaki kalıntısı sin 1 olur.

Notlar

1. Türkçe notasyonda Rez(f,a) da kullanılır; ancak genelde karmaşık değişkenler için z harfi kullanıldığından, bu gösterim karmaşaya yol açmaktadır.

Ayrıca bakınız

• Cauchy integral formülü
• Cauchy integral teoremi
• Kontür integrali yöntemleri
• Morera teoremi

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Karmaşık Kalıntı (MathWorld)
• Kalıntılar Modülü, John H. Mathews tarafından

Kaynakça

• Ahlfors, Lars (1979), Complex Analysis, McGraw Hill 
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).