Karakteristik fonksiyon

Bu madde yazım ve noktalama yanlışları ya da anlatım bozuklukları içermektedir. Yanlışları ve bozuklukları gidererek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. NOT: Gerekli değişiklikler yapılmadan bu şablon kaldırılmamalıdır.

Olasılık kuramı içinde herhangi bir rassal değişken için karekteristik fonksiyon bu değişkenin olasılık dağılımını tüm olarak tanımlar. Herhangi bir rassal değişken X için, reel doğru üzerinde, bu fonksiyonu tanımlayan formül şöyle yazılır:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\,}$

Burada t bir reel sayı, i sanal birim değer ve E beklenen değer olurlar.

Eğer F_X yığmalı dağılım fonksiyonu ise, kareteristik fonksiyon Riemann-Stieltjes integrali kullanılarak şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x).\,}$

Rassal değişken için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani f_X, var ise karekteristik fonksiyonu şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx.}$

Eğer X bir vektör-değerli rassal değişken ise, t değeri bir vektör olarak ve tX bir nokta çarpan olarak kabul edilip tanım değiştirilmez.

R üzerinde veya Rⁿ üzerindeki her olasılık dağılımının bir karekteristik fonksiyonu bulunur, çünkü sınırlı bir fonksiyonunun ölçümü sonsuz olan bir uzayda integrali alınmaktadır. Her bir karekteristik fonksiyonu için tek bir olasılık dağılımı vardır. (İçinde ${\displaystyle p(x)=p(-x)}$ olan) bir simetrik olasılık yoğunluk fonksiyonu için karekteristik fonksiyon reeldir; çünkü ${\displaystyle x>0}$ ifadesinden elde edilen ile ${\displaystyle x<0}$ ifadesinden elde edilen sanal parçalar birbirini elimine etmektedir.

Lévy süreklilik teoremi

Ters alma teoremi

Bu özellikten daha kapsamlı bir özellik daha vardır. İki gayet iyi belirlanmış yığmalı olasılık dağılımı hiçbir karekteristik fonksiyonuna ortak sahip değildirler. Bir karekteristik fonksiyon, φ φ, verilmiş ise, karşıtlı bağlı olup çıkartıldığı yığmalı dağılım fonksiyonu F yeniden şöyle meydana getirilir:

${\displaystyle F_{X}(y)-F_{X}(x)=\lim _{\tau \to +\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\tau }^{+\tau }{\frac {e^{-itx}-e^{-ity}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt.}$

Genel olarak bu bir uygunsuz entegraldir; çünkü Lebeşgue entegralı olacağına koşullu olarak entegralı çıkartılmış olan bir fonksiyonu olabilir. Yani mutlak değerinin entegralı sonsuz olabilir.

Bochner-Khinchin teoremi

Herhangi bir fonksiyon ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ belli bir olasılık yasası olan ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ karşılığı olan bir karekteristik fonksiyon olması için yalnızca ve yalnızca şu üç koşulun sağlanması gerekir:

1. ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \,}$ sürekli olmalıdır.
2. ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (0)=1\,}$ olmalıdır.
3. ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \,}$ bir kesin pozitif fonksiyon olmalıdır. (Dikkat edilirse bu koşul biraz karmaşık olup ${\displaystyle \scriptstyle \varphi >0}$ ile eş anlamda değildir.)

Karekteristik fonksiyonların yararları

Levy'nin süreklilik teoremi dolayısıyla karakteristik fonksiyonlar merkezsel limit teoremini isbat etmek için çok defa kullanılmaktadır. Bir karekteristik fonksiyonunun kullanılmasıyla yapılan hesaplarda atılacak en becerikli adım eldeki fonksiyonun belli bir dağılımın karekteristik fonksiyonu olduğunun farkına varmak suretiyle ortaya çıkar.

Temel özellikler

Bağımsız olan rassal değişkenlerin fonksiyonları ile uğraşmak için özellikle karekteristik fonksiyonlar kullanılır. Örneğin, X₁, X₂, ..., X_n bir seri bağımsız (ama mutlaka aynı şekilde dağılım göstermeyen) rassal değişken iseler ve a_iler sabit olup

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!}$

ise S_n için karakteristik fonksiyon şöyle verilir:

${\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).\,\!}$

Özellikle

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}$

olur. Bunu görmek için bir karekteristik fonksiyonun tanımı yazılısın:

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}$.

Burada gözlenebilir ki üçüncü ve dördüncü ifadelerin eşitliğini sağlamak için gereken koşul ${\displaystyle X}$ ve ${\displaystyle Y}$ nin bibirinden bağımsız olmasıdır.

İlgi çekebilen bir diğer hal de, ${\displaystyle a_{i}=1/n}$ oldiuğu halde ${\displaystyle S_{n}}$nin örneklem ortalaması olmasıdır. Bu halde ortalama yerine ${\displaystyle {\overline {X}}}$ konulursa

${\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\left(\varphi _{X}(t/n)\right)^{n}.}$

olur

Momentler

Karekteristik fonksiyonlar bir rassal değişkenin momentlerini bulmak için de kullanılabilir. Eğer ninci moment mevcut ise, karekteristik fonksiyonun n dereceye kadar arka arkaya türevi alınabilir ve

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{n}\right)=i^{-n}\,\varphi _{X}^{(n)}(0)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}.\,\!}$

olur.

Örneğin, ${\displaystyle X}$ bir standart Cauchy dağılımı göstersin. O halde bunun ${\displaystyle t=0}$ noktasında türevinin bulunmadığını göstermek Cauchy dağılımı için hiçbir beklenen değer olmadığını gösterir. Aynı örneğinde ${\displaystyle n}$ tane bağımsız gözlem için örneklem ortalaması olan ${\displaystyle {\overline {X}}}$in karakteristik fonksiyonu

${\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=(e^{-|t|/n})^{n}=e^{-|t|}}$

olur ve bunu standart bir Cauchy dağılımı için karakteristik fonksiyon olduğu gözümlenebilir. Böylece Cauchy dağılımı için örneklem ortalaması için dağılım anakültle dağılımı ile aynı dağılım olduğu anlaşılmaktadır.

Bir karakteristik fonksiyonun logarıtması bir kumulant üreten fonksiyon olur ve bu fonksiyon kumulantları bulmak için yararlıdır.

Bir örneğin

İlişkili kavramlar

Bibliyografya

• Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
• Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science