Kelvin fonksiyonu

Uygulamalı matematik alanında, Kelvin fonksiyonları Ber ν (x) ve Bei ν (x), sırasıyla, gerçek ve sanal kısımları

${\displaystyle J_{\nu }(xe^{3\pi i/4}),\,}$

burada x gerçek alınıyor,J_ν(z), , birinci tür ν^inci için Bessel fonksiyonu'dur. Ayrıca,ikinci mertebeden Ker_ν(x) ve Kei_ν fonksiyonlarının ikinci türden modifiye Bessel fonksiyonu'na benzer sırasıyla gerçek ve sanal kısımları vardır. burada ${\displaystyle K_{\nu }(xe^{\pi i/4})\,}$ ve ${\displaystyle K_{\nu }(z)\,}$ ν^incidir Bu fonksiyonlar William Thomson, 1.Baron Kelvin anısına göre adlandırılmış. Kelvin fonksiyonları gerçek olması için alınan x ile Bessel fonksiyonlarının gerçek ve sanal parçaları olarak tanımlanan da, analitik fonksiyonlar) karmaşık argümanları x e^i φ, φ ∈ [0, 2π).için devam edilebilir. Ber_n(x) ve Bei_n(x) entegraln, Kelvin fonksiyonlarıx = 0 da bir dal noktası sahiptir.

Ber(x)

Ber(x) for x between 0 and 10.

${\displaystyle \mathrm {Ber} (x)/e^{x/{\sqrt {2}}}}$ for ${\displaystyle x}$ between 0 and 100.

n tamsayıları için, Ber_n(x) seri açılımına sahiptir

${\displaystyle \mathrm {Ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$

Burada ${\displaystyle \Gamma (z)}$ olan gama fonksiyonu'dur Özel bir durumBer₀(x),yaygın olarak gösterilen sadeceBer(x),seri açılımı var

${\displaystyle \mathrm {Ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{4k}}{[(2k)!]^{2}}}}$

ve asimptotik seri

${\displaystyle \mathrm {Ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha ]-{\frac {\mathrm {Kei} (x)}{\pi }}}$,

burada ${\displaystyle \alpha =x/{\sqrt {2}}-\pi /8}$, ve

${\displaystyle f_{1}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$

${\displaystyle g_{1}(x)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$

Bei(x)

Bei(x) for ${\displaystyle x}$ between 0 and 10.

${\displaystyle \mathrm {Bei} (x)/e^{x/{\sqrt {2}}}}$ for ${\displaystyle x}$ between 0 and 100.

n tamsayıları için,Bei_n(x) seri açılımı vardır

${\displaystyle \mathrm {Bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$

burada ${\displaystyle \Gamma (z)}$ gama fonksiyonu'dur. özel bir durum Bei₀(x),gibi yaygın ifade Bei(x),seri açılımı vardır

${\displaystyle \mathrm {Bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^{2}}}}$

ve asimtotik seri

${\displaystyle \mathrm {Bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha -g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {Ker} (x)}{\pi }}}$,

burada ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle f_{1}(x)}$, ve ${\displaystyle g_{1}(x)}$ Ber${\displaystyle (x)}$ için tanımlanıyor .

Ker(x)

n tamsayıları için, Ker_n(x) (karmaşık) seri açılımına sahiptir

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x)\\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}}$

Ker(x) for ${\displaystyle x}$ between 0 and 10.

${\displaystyle \mathrm {Ker} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}}$ for x between 0 and 100.

burada ${\displaystyle \psi (z)}$ digama fonksiyonu'dur. özel bir durum Ker${\displaystyle _{0}(x)}$, yaygın ifade sadece Ker${\displaystyle (x)}$, seri açılımıdır.

${\displaystyle \mathrm {Ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}}$

ve asimptotik seri

${\displaystyle \mathrm {Ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],}$

burada ${\displaystyle \beta =x/{\sqrt {2}}+\pi /8}$, ve

${\displaystyle f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$

${\displaystyle g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}$

Kei(x)

n tamsayıları için,Kei_n (x) (karmaşık) seri açılımına sahiptir

${\displaystyle \mathrm {Kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$

Kei(x) for ${\displaystyle x}$ between 0 and 10.

${\displaystyle \mathrm {Kei} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}}$ for ${\displaystyle x}$ between 0 and 100.

burada ${\displaystyle \psi (z)}$ digama fonksiyonu'dur. özel bir durum Kei${\displaystyle _{0}(x)}$, yaygın ifade sadece Kei${\displaystyle (x)}$, seri açılımıdır.

${\displaystyle \mathrm {Kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}}$

ve asimptotik seri

${\displaystyle \mathrm {Kei} (x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],}$

burada ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle f_{2}(x)}$, ve ${\displaystyle g_{2}(x)}$ ifadeleri Ker${\displaystyle (x)}$'e yönelik olarak tanımlanır .

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Bessel fonksiyonu

Kaynakça

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ed. (1983). "Chapter 9". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first bas.). Washington D.C., USA; New York, USA: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. s. 379. ISBN 0-486-61272-4. LCCN 64-60036. MR 0167642. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 6512253-{{{3}}}. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_379.htm. 
• Şablon:Dlmf

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: