Morse kuramı

Türevli topolojide, türevlenebilir çokkatlıların topolojisini anlamaya yönelik kuram. ABD'li matematikçi Marston Morse tarafından 1930larda geliştirilmiştir. Raoul Bott, Stephen Smale, John Milnor ve Edward Witten'ın kuramın köklerine doğrudan katkılarıyla türevli topolojide standart bir yönteme dönüşmüştür.

Morse kuramı, türevlenebilir çokkatlıyı, üzerine koyduğu gerçel değerli, türevlenebilir bir fonksiyon aracılığıyla inceler. Aşağıda verilen özel koşulları sağlayan bu fonksiyonlara Morse fonksiyonu denmektedir. Bu fonksiyonun çokkatlı üzerindeki kritik noktalarını inceleyerek ve başka hiçbir şeye bakmaksızın, çokkatlının türevli topolojik tüm özellikleri anlaşılır. Örneğin kenarı olmayan ve kompakt bir çokkatlının üzerine konacak bir Morse fonksiyonu, sonlu sayıda kritik noktaya sahip olacaktır. Bu sonlu nokta sayesinde çokkatlıyı sonlu sayıda kulpun bileşimi olarak inşa edebiliriz. Bu inşa, çokkatlının homoloji gruplarına ilişkin önemli bilgiler verir.

Tanımlar

${\displaystyle M}$, ${\displaystyle n}$ boyutlu türevlenebilir bir çokkatlı olsun. Burada (aşağıda ve yukarıda) türevlenebilir derken sürekli türevlenebilirlik kastediliyor. ${\displaystyle M}$'den gerçel sayılara bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonu olsun. ${\displaystyle f}$'nin yerel koordinatlarda tüm türevlerinin 0 olduğu noktaya ${\displaystyle f}$'nin bir kritik noktası denir. Eğer bir kritik noktada ${\displaystyle f}$'nin ikinci türevi (Hessian matrisi) tekilse o kritik noktaya dejenere denir. Hiçbir kritik noktası dejenere olmayan bir fonksiyona Morse fonksiyonu denir. Gösterilebilir ki ${\displaystyle f}$'nin Morse olup olmaması yerel koordinat seçimlerinden bağımsızdır.

Bir Morse fonksiyonunun bir kritik noktasında Hessian matrisinin negatif özdeğerleri sayısına noktanın damgası (endeksi) denir. Yine, dejenere olmayan bir kritik noktanın damgası, yerel koordinat seçiminden bağımsızdır.

Hessian matrisi gerçel sayılardan oluşmuş ${\displaystyle n}$'ye ${\displaystyle n}$ simetrik bir matris olduğu için özdeğerleri gerçeldir. Dolayısıyla, özdeğerlerin negatif olmasını istemek anlamlıdır. Ayrıca özdeğerlerin ve özvektörlerin sayısı da ${\displaystyle n}$ tanedir. Dolayısıyla Hessian matrisi köşegenleştirilebilir bir matristir. Yani, kritik noktanın damgası, Hessian matrisinin köşegen halindeki negatif girdi sayısıdır.

Başlıca savlar

Aşağıdaki savlar ispatlanabilir:

• Türevlenebilir her çokkatlının üzerine bir Morse fonksiyonu konabilir. Üstelik, gerçel değerli, türevlenebilir verilmiş herhangi bir fonksiyona istenildiği kadar yakın bir Morse fonksiyonu bulunabilir.
• Çokkatlı kompaktsa, Morse fonksiyonunun kritik noktaları sonlu tanedir.
• Morse fonksiyonu istenildiği kadar küçük bir dürtmeyle, kritik noktalara karşılık gelen kritik değerler birbirlerinden farklı yapılabilir.
• Morse fonksiyonu kendini damgalayan (endeksleyen) biçime dönüştürülebilir; yani fonksiyonun her bir kritik noktasına karşılık gelen değer, kritik noktadaki damgaya (endeks) eşit yapılabilir.