Potansiyel kuyusu

Potansiyel kuyusu, bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. Tek boyutta uygulanan potansiyel,

$V(x) = \begin{cases} 0, & 0<x<a \\ \infty, & \mbox{diger }\end{cases}$

şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık için Schrödinger denklemi yazılırsa:

$\frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi$

$\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0 \mbox{ , (I)}$

$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2} \mbox{ , (II)}$

$\mbox{(I)}\,$ denklemin çözümü ise ${\psi}_\mbox{ic}(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,$ olarak elde edilir. Bu, parçacığı kuyu içinde temsil eden dalga fonksiyonudur. Uygulanan potansiyel sonsuz olduğu için parçacığın dışarda bulunması olasılığı sıfır olacağından, dışardaki dalga fonksiyonu ${\psi}_\mbox{dis}(x)=0\,$ olur. Sınırlarda iki dalga fonksiyonunun değerlerinin alacağı değerler birbirine eşit olmak zorunda olduğundan sınır koşulları ortaya çıkar.

• ${\psi}_\mbox{ic}(0)={\psi}_\mbox{dis}(0)=0\,$

$A\sin0+B\cos0 = 0\ \mbox{ , } B=0\,$

${\psi}_\mbox{ic}(x)=A\sin(kx)\,$

• ${\psi}_\mbox{ic}(a)={\psi}_\mbox{dis}(a)=0\,$

$A\sin(ka)=0\,$

$A\ne 0\mbox{ , }$$\sin(ka)=0\,$

$ka=n\pi\ \mbox{ , }k=\frac{n\pi}{a}$

$\mbox{(II)}\,$ denklemi ile karşılaştırılırsa

$\frac{2mE}{\hbar^2}=k^2=\frac{n^2\pi^2}{a^2}$

$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\mbox{ , } n=1,2,3...$

elde edilir. Böylece bağlı durumdaki parçacıkların enerjilerinin kuantalandığı gösterilmiş olur zira parçacığın enerji seviyeleri $E_0=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$ olmak üzere bu enerjinin tam katlarıdır. $E_n = n^2E_0 \mbox{ , } n=1,2,3...\,$

Diğer bir deyişle kuyudaki parçacığın enerjisi iki enerji seviyesi arasındaki enerjiyi alamaz. Bu yüzden enerjide süreksizlik vardır, bu duruma enerjinin kuantalanması denir.